【P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数】题解

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题目

给定一个多项式 \((by+ax)^k\)，请求出多项式展开后 \(x^n\times y^m\) 项的系数。

思路

根据二项式定理 \((a+b)^k=\sum_{i=0}^kC_{k}^ia^ib^{k-i}\) 我们可以把原式变为：

\[(ax+by)^k=\sum_{i=0}^nC_k^ia^ib^{k-i}x^iy^{k-i} \]

在题目中 \(n=i,\,\, m=k-i\)。

于是答案就是 \(C_k^na^nb^m\)。

总结

这道题我当时看题时漏掉一个关键性质 \(n+m=k\)，导致卡了很久。

这题原先实在考找规律+杨辉三角，我却变成了一道公式应用。

因此我也明白，其实杨辉三角和二项式定理本质上差不多。

Code

// Problem: P1313 [NOIP2011 提高组] 计算系数
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1313
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define mo
//#define N
#define M 10007
int n, m, i, j, k; 
int a, b, J[2000010]; 

int K(int a, int b)
{
	int ans=1; 
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%M; 
		a=(a*a)%M; 
		b>>=1; 
	}
	return ans; 
}

int C(int n, int m)
{
	if(m==0) return 1; 
	return J[n]*K(J[m]*J[n-m]%M ,M-2)%M; 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout); 
	for(i=J[0]=1; i<=2000000; ++i) J[i]=J[i-1]*i%M; 
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &k, &n, &m); 
	printf("%lld", K(a, n)*K(b, m)%M*C(k, n)%M); 
	return 0;
}