拓展欧几里得小结

前言

拓欧总是记不住，总是想不懂，希望写篇博客加深影响。

拓展欧几里得定理推论

求：

\[\Large ax+by=\gcd(a,b) \]

的其中一组整数解 \(x,y\)。

首先可以证明必有解（留坑）

按照欧几里得定理：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)\)

\[\Large k_1x'+k_2y'=\gcd(b,a\%b) \]

由于我们之前知道 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，所以 \(bx'+(a\%b)y'=\gcd(b,a\%b)\) 也应该必有解。

由于 \(a\%b=a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b\)

所以原式为:

\[\Large bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b)\times y'=\gcd(b,a\%b) \]

拆开：

\[\Large bx'+a\times y'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b\times y'=\gcd(b,a\%b) \]

合并同类项：

\[\Large a y'+b(x'- \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')=\gcd(b,a\%b) \]

由于 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)，看回之前的式子 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，所以我们可以写出等式：

\[\Large a y'+b(x'- \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')=ax+by \]

然后我们可以写出 \(x,y\) 的其中一组解为 \(x=y',y=(x'- \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')\)

边界条件：如何 \(gcd(a,b)\) 中 \(b\) 为0，则 \(gcd(a,b)=a\)，然后我们构造一组整数解为：

\[\Large a\times 1+b\times 0=a=gcd(a,b). \]

拓展欧几里得求逆元

前提：利用拓欧求逆元需满足 \(gcd(a,p)=1\)

我们知道，\(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元 \(x\) 可以表示为：\(ax\equiv 1\pmod p\)

对于我们求出的其中一组的 \(ax+py=gcd(a,p)\)，由于我们保证了 \(gcd(a,p)=1\)，所以 \(ax+py=1\)，移项得：

\[\Large ax=1-py \]

在模 \(p\) 意义下，\(ax\) 与 \(1-py\) 相同。而 \(py\) 为 \(p\) 的倍数，所以在模 \(p\) 意义下 \(ax=1\)，即:

\[\Large ax\equiv1\pmod p \]

此时 \(x\) 即为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元