拓展欧几里得小结

前言

拓欧总是记不住，总是想不懂，希望写篇博客加深影响。

拓展欧几里得定理推论

求：

$$\Large ax+by=\gcd(a,b)$$

的其中一组整数解 $x,y$。

首先可以证明必有解（留坑）

按照欧几里得定理：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)$

$$\Large k_1x'+k_2y'=\gcd(b,a\%b)$$

由于我们之前知道 $ax+by=\gcd(a,b)$，所以 $bx'+(a\%b)y'=\gcd(b,a\%b)$ 也应该必有解。

由于 $a\%b=a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b$

所以原式为:

$$\Large bx'+(a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b)\times y'=\gcd(b,a\%b)$$

拆开：

$$\Large bx'+a\times y'-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times b\times y'=\gcd(b,a\%b)$$

合并同类项：

$$\Large a y'+b(x'- \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')=\gcd(b,a\%b)$$

由于 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$，看回之前的式子 $ax+by=\gcd(a,b)$，所以我们可以写出等式：

$$\Large a y'+b(x'- \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')=ax+by$$

然后我们可以写出 $x,y$ 的其中一组解为 $x=y',y=(x'- \left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\times y')$

边界条件：如何 $gcd(a,b)$ 中 $b$ 为0，则 $gcd(a,b)=a$，然后我们构造一组整数解为：

$$\Large a\times 1+b\times 0=a=gcd(a,b).$$

拓展欧几里得求逆元

前提：利用拓欧求逆元需满足 $gcd(a,p)=1$

我们知道，$a$ 在模 $p$ 意义下的逆元 $x$ 可以表示为：$ax\equiv 1\pmod p$

对于我们求出的其中一组的 $ax+py=gcd(a,p)$，由于我们保证了 $gcd(a,p)=1$，所以 $ax+py=1$，移项得：

$$\Large ax=1-py$$

在模 $p$ 意义下，$ax$ 与 $1-py$ 相同。而 $py$ 为 $p$ 的倍数，所以在模 $p$ 意义下 $ax=1$，即:

$$\Large ax\equiv1\pmod p$$

此时 $x$ 即为 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元