【P2325 [SCOI2005]王室联邦】题解

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题目

“余”人国的国王想重新编制他的国家。他想把他的国家划分成若干个省，每个省都由他们王室联邦的一个成员来管理。

他的国家有 $N$ 个城市，编号为 $1\ldots N$。

一些城市之间有道路相连，任意两个不同的城市之间有且仅有一条直接或间接的道路。

为了防止管理太过分散，每个省至少要有 $B$ 个城市。

为了能有效的管理，每个省最多只有 $3\times B$ 个城市。

每个省必须有一个省会，这个省会可以位于省内，也可以在该省外。

但是该省的任意一个城市到达省会所经过的道路上的城市（除了最后一个城市，即该省省会）都必须属于该省。

一个城市可以作为多个省的省会。

聪明的你快帮帮这个国王吧！

思路

一道非常好的树上构造题。

首先我们先dfs，对于当前点 $x$，当其叶子节点（假设为 $y$）返回以 $y$ 为根的子树内未分配的节点，我们把它加入到一个集合（假设为 $S$）。

当 $S$ 的大小大于 $B$ 时，我们就可以把 $S$ 划分到一个省内。

当对 $x$ 的子树dfs完后，我们把 $x$ 加入到集合 $S$ 中，并返回。

这里我们可以证明每次返回的集合 $S$ 的大小严格小于等于 $B$。

• 在未加入 $x$ 点之前，如果 $S$ 集合大于 $B$，按照我们的步骤我们会把它们划分成一个省。所以划分完后，$S$ 的大小最大为 $B-1$，加入 $x$ 后最大为 $B$。所以 $|S|\leqslant B$。

因此我们也可以证明每次划分出来的省的大小都小于等于 $2\times B-1$。

• 由于划分前 $S$ 的大小最大为 $B-1$（前面已证），子树返回的大小最大为 $B$，故省的大小最大为 $2\times B-1$。

dfs后如果集合 $S$ 非空，我们则把它放入最后一个省里。我们可以证明最后一个省严格小于等于 $3\times B-1$。

• 由于最后的集合 $S$ 未加入之前省的大小最大为 $2\times B-1$，集合 $S$ 的大小最大为 $B$，故加入后这个省的大小最大为 $3\times B-1$。

时间复杂度：$O(n)$。

要注意的是dfs后要先判断是否存在省再加入。

集合 $S$ 可以用栈来实现。

Code

// Problem: P2325 [SCOI2005]王室联邦
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2325
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
//#define M
//#define mo
#define N 1010
struct node
{
	int x, y, k, n; 
}d[N*2]; 
int n, m, i, j, k; 
int h[N], rot[N], zhan[N], shu[N]; 
int num, top, u, v; 

void cun(int x, int y)
{
	d[++k].x=x; d[k].y=y; 
	d[k].n=h[x]; h[x]=k; 
}

void dfs(int x, int fa)
{
	int now=top; 
	for(int g=h[x]; g; g=d[g].n)
	{
		int y=d[g].y; 
		if(y==fa) continue ;
		dfs(y, x); 
		if(top-now>=m)
		{
			rot[++num]=x; 
			while(top>now) shu[zhan[top--]]=num; 
		}
	}
	zhan[++top]=x; 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin); 
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout); 
	n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<n; ++i)
	{
		u=read(); v=read(); 
		cun(u, v); cun(v, u); 
	}
	dfs(1, 0); 
	if(num==0) rot[++num]=1; 
	while(top) shu[zhan[top--]]=num; 
	printf("%lld\n", num); 
	for(i=1; i<=n; ++i) printf("%lld ", shu[i]); 
	printf("\n"); 
	for(i=1; i<=num; ++i) printf("%lld ", rot[i]); 
	return 0; 
}