线性求逆元

线性求逆元

当初做洛谷模板题的时候还没发现原来这就是线性求逆元，现在发现了才知道原来这么好用。

首先我们要求 $[1,n]\pmod p$ 的逆元。

第一，我们知道：

$$1^{-1}\equiv1\pmod p$$

现在我们要求 $i\pmod p$ 的逆元，肯定的，我们可以把 $p$ 拆分成：

$$p=k\times i+r$$

$$\because p\equiv0\pmod p$$

$$\therefore k\times i+r\equiv 0\pmod p$$

我们分别让两边乘上 $i^{-1}$ 和 $r^{-1}$，则：

$$k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv0\pmod p$$

移项：

$$i^{-1}\equiv-k\times r^{-1}\pmod p$$

按照开始那条式子 $p=k\times i+r$ 我们可以得出：

$$k=\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor$$

$$r=p\bmod i$$

把 $k=\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor$ 和 $r=p\bmod i$ 代入到 $i^{-1}\equiv-k\times r^{-1}\pmod p$ 中我们可以得到：

$$i^{-1}\equiv-\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\times (p\bmod i)^{-1}\pmod p$$

由于 $(p\bmod i)<i$，所以 $(p\bmod i)^{-1}$ 必然在前面求过，所以我们可以提前用一个inv数组记录即可。