线性求逆元

线性求逆元

当初做洛谷模板题的时候还没发现原来这就是线性求逆元，现在发现了才知道原来这么好用。

首先我们要求 \([1,n]\pmod p\) 的逆元。

第一，我们知道：

\[1^{-1}\equiv1\pmod p \]

现在我们要求 \(i\pmod p\) 的逆元，肯定的，我们可以把 \(p\) 拆分成：

\[p=k\times i+r \]

\[\because p\equiv0\pmod p \]

\[\therefore k\times i+r\equiv 0\pmod p \]

我们分别让两边乘上 \(i^{-1}\) 和 \(r^{-1}\)，则：

\[k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv0\pmod p \]

移项：

\[i^{-1}\equiv-k\times r^{-1}\pmod p \]

按照开始那条式子 \(p=k\times i+r\) 我们可以得出：

\[k=\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor \]

\[r=p\bmod i \]

把 \(k=\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\) 和 \(r=p\bmod i\) 代入到 \(i^{-1}\equiv-k\times r^{-1}\pmod p\) 中我们可以得到：

\[i^{-1}\equiv-\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\times (p\bmod i)^{-1}\pmod p \]

由于 \((p\bmod i)<i\)，所以 \((p\bmod i)^{-1}\) 必然在前面求过，所以我们可以提前用一个inv数组记录即可。