【2021牛客网赛前第二场普及模拟赛C数数】题解

题目大意

我们称一个集合 \(S={(x_1, y_1), (x_2, y_2), … , (x_k, y_k)}\) 是好的，当且仅当把它们按照 \(y_i\) 降序排序后满足：

• 对于所有满足 \(3 ≤ j ≤ k\) 的 \(j\)，有 \(x_j−2 < x_j < x_j−1\) 或者 \(x_j−1 < x_j < x_j−2\) 。

牛牛在二维平面上有一个 \(n\) 个点的集合。牛牛请你帮他算算有多少个非空子集 \(S\) 是好的。因为答案可能很大，你只需要告诉他答案对 \(10^9 + 7\) 取模后的结果。

\(n\leqslant 6000\)

我的思路

首先考虑暴力，设 \(dp(i, j,)\) 为序列末尾分别为 \(a_i, a_j\) 的方案数，则

\[dp(i, j)=\sum_{k=1}^{j-1} \,dp(j, k)\, (a_k>a_i>a_j||a_k<a_i<a_j) \]

时间复杂度 \(O(n^3)\)

考虑优化。

设 \(dp(i,j)\) 为以 \(a_i\) 结尾的数中前一个数为 \(j\) 的方案数，然后就可以套前缀和优化了。

时间复杂度 \(O(n^2)\)

这题卡空间，需要用int，别开long long。

开始时 \(a\) 要离散化一次。

暴力code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define mo 1000000007
#define N 1510
struct node
{
	int x,y;
}d[N];
int n, m, i, j, k, ans;
int minx, maxx; 
int dp[N][N], a[N]; 

bool cmp(node x, node y)
{
	return x.y>y.y; 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin);
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout);
	n=read(); 
	for(i=1; i<=n; ++i) 
	{
		d[i].x=read(); 
		d[i].y=read(); 
	}
	sort(d+1, d+n+1, cmp);
	for(i=1; i<=n; ++i) a[i]=d[i].x;
	for(i=1; i<=n; ++i)
	{
		minx=maxx=0;
		++ans; 
		for(j=1; j<i; ++j)
		{
			dp[i][j]=1; ++ans; 
			for(k=1; k<j; ++k)
				if((a[i]>a[j]&&a[i]<a[k])||(a[i]>a[k]&&a[i]<a[j]))
				{
					ans=(ans+dp[j][k])%mo;
					dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[j][k])%mo;
				}
		}
		
	}
	printf("%lld", ans); 
	return 0;
}

\(O(n^2)\) code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define mo 1000000007
#define N 6010
struct node
{
	int x, y, z;
}d[N];
int n, m, i, j, k, ans;
int minx, maxx; 
int dp[N], a[N]; 
int f[N][N]; 

bool cmp(node x, node y)
{
	return x.y>y.y; 
}

bool Cmp(node x, node y)
{
	return x.z<y.z; 
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in", "r", stdin);
//	freopen("tiaoshi.out", "w", stdout);
	n=read(); 
	for(i=1; i<=n; ++i) 
	{
		d[i].z=read(); 
		d[i].y=read(); 
	}
	sort(d+1, d+n+1, Cmp); 
	d[1].x=k=1; 
	for(i=2; i<=n; ++i)
	{
		if(d[i].z!=d[i-1].z) ++k; 
		d[i].x=k; 
		// printf("%d ", d[i].x); 
	}
	sort(d+1, d+n+1, cmp);
	for(i=1; i<=n; ++i) a[i]=d[i].x; 
	// ans=n+n*(n-1)/2; 
	ans=n; 
	// printf("%lld ", ans); 1423
	
	for(i=1; i<=n; ++i)
	{
		// printf("%lld\n", a[i]); 
//		minx=maxx=0;
		memset(dp, 0, sizeof(dp)); 
		// dp[0]=1; 
		for(j=1; j<i; ++j)
		{
			dp[a[j]]=(dp[a[j]]+1)%mo; 
			if(a[j]<a[i]) 
				dp[a[j]]=(((dp[a[j]]+f[j][k]-f[j][a[i]])%mo)+mo) % mo; 
			if(a[j]>a[i]) 
				dp[a[j]]=(dp[a[j]]+f[j][a[i]-1])%mo; 
		}
		// sf[i][]
		for(j=1; j<=k; ++j)
			f[i][j]=(f[i][j-1]+dp[j])%mo; 
		// for(j=k; j>=0; --j)
			// hf[i][j]=(hf[i][j+1]+dp[j])%mo; 
		// for(j=0; j<=k; ++j) printf("f[%lld][%lld]=%lld\n", i, j, dp[j]); 
		ans=(ans+f[i][k])%mo; 
	}
	printf("%d", ans); 
	return 0;
}