【洛谷P6835 [Cnoi2020]线形生物】题解

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明显是道期望dp，设 \(f_i=E_{i\rightarrow i+1}\)。表示从第 \(i\) 层到第 \(i+1\) 层的期望步数。

所以 \(E_{x\rightarrow y}=\sum_{i=x}^yfi\)，即从第 \(x\) 层走到第 \(y\) 层的总期望步数。

现在推 \(f_x\), 设 \(d_x\) 为 \(x\) 的返祖边条数，\(g_x\) 为 \(x\) 返祖到的点的集合，则：

\[f_x=\frac{1}{d_x+1}\times 1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(E_{x\rightarrow y}+1) \]

后面那坨拆开：

\[f_x=\frac{1}{d_x+1}\times 1+\frac{d_x}{d_x+1}+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}E_{x\rightarrow y} \]

把前两坨合并：

\[f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}E_{x\rightarrow y} \]

按照开始的公式我们可以把后面的替换掉：

\[f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}\sum_{i=x}^yfi \]

最后那个 \(\sum_{i=x}^yfi\) 明显可以用前缀和维护，则：

\[f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(S_x-S_{y-1}) \]

由于 \(S_x\) 未求出，我们可以把它拆开：

\[f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(f_x+S_{x-1}-S_{y-1}) \]

拆开：

\[f_x=1+\frac{1}{d_x+1}\times\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1})+\frac{1}{d_x+1}\times d_x \times f_x \]

两边同乘 \(d_x+1\):

\[f_x\times(d_x+1)=d_x+1+\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1})+d_x\times f_x \]

最后面的 \(d_x\times f_x\) 移到左边：

\[f_x\times(d_x+1)-d_x\times f_x=d_x+1+\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1}) \]

化简一下：

\[f_x=d_x+1+\sum_{y\in g_x}(S_{x-1}-S_{y-1}) \]

最终转移方程就求出来了

上代码：

// Problem: P6835 [Cnoi2020]线形生物
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6835
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;
ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+
(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define mo 998244353
#define N 1000010
struct node
{
	int x, y, n; 
}d[2*N]; 
int n, m, i, j, k; 
int f[N], rd[N], s[N], h[N]; 
int u, v, w, x, y; 

void cun(int x, int y)
{
	++k; d[k].x=x; 
	d[k].y=y; d[k].n=h[x]; 
	h[x]=k; 
	rd[x]++;
}

signed main()
{
//	freopen("tiaoshi.in","r",stdin);
//	freopen("tiaoshi.out","w",stdout);
	read(); n=read(); m=read(); 
	for(i=1; i<=m; ++i)
	{
		v=read(); u=read(); 
		cun(v, u); 
	}
	for(x=1; x<=n; ++x)
	{
		f[x]=rd[x]+1; 
		for(j=h[x]; j; j=d[j].n)
		{
			y=d[j].y; 
			f[x]+=(s[x-1]-s[y-1]); 
		}
		f[x]=(f[x]%mo+mo)%mo; 
		s[x]=(s[x-1]+f[x])%mo; 
	}
	printf("%lld", s[n]); 
	return 0;
}