线性筛/欧拉筛的应用

线性筛/欧拉筛的应用

线性求 \(i^p\)

1. 若 \(i\) 是质数，则我们用快速幂求 \(i^p\)。
2. 若 \(i\) 不是质数，则在欧拉筛里，必然可以用最小的质数 \(p_1\)，使得 \(p_1\times j=i\)，于是我们就可以得到结论：

\[i^p=(p_1\times j)^p=p_1^p\times j^p \]

线性求欧拉函数 \(\varphi(i)\)

1. 若 \(i\) 是质数，则 \(\varphi(i)=i-1\)。
2. 若 \(i\) 是质数，\(j\bmod i=0\)，则 \(\varphi(j\times i)=i\times \varphi(j)\)。
3. 若 \(i,j\) 互质，则 \(\varphi(i\times j)=\varphi(i)\times \varphi(j)\)