最近不知道怎么了，老是把写好的博客误删，继续当是复习好了。
昨天学了一下欧拉函数，觉得挺简单的，其实就是一个公式。那么什么是欧拉函数呢？欧拉函数就是用来求小于或等于 n 的所有与 n 互质的数的和的一个函数。
（一） 由于欧拉函数又叫 ψ 函数，所以我们用 ψ(x) 来表示公式：
（1）ψ(x) = x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*............*(1-1/pn) 其中的 p1，p2，p3.............pn 都是 x 的质因子（注意：每种质因子只能出现一次）
（2）当 x 可以用质数 p 的 k 次幂来表示，那么 ψ(x) = p^K - P^(K-1) 因为除了 p 的倍数外，其他数都与 x 互质。
（二） 昨天看了一些资料，发现求小于或等于 n 的所有与 n 互质的数的和的方法有挺多的，这里列举几个：
（1）通过纯暴力的方法，从 1 到 x 一个一个的来算，如果任取 1<=n<=x ，有 gcd(n,x)=1，则计数变量加 1 （这种方法太耗时了，不可取）。
（2）先通过筛选筛掉 x 的所有质因子的倍数，再通过公式一来算出 ψ(x) （这种方法比较麻烦，也不可取）。
（3）欧拉函数（欧拉函数是积性函数——若n，m互质，则 ψ(m n)=ψ(m)ψ(n) ）。
具体代码实现：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
int eular(int n)
{
int res=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0)
n/=i,res*=i-1;
while(n%i==0)
n/=i,res*=i;
}
if(n>1)
{
res*=n-1;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
printf("%d\n",eular(n));
}
//system("pause");
return 0;
}
代码分析：
代码中用到了两个性质，一个是公式二，另外一个是欧拉函数是积性函数。
举一个例子：当 x = 24 时，ψ(24) = ψ(3*8) = ψ(3)*ψ(8) = ψ(3^1)*ψ(2^3) （积性函数的性质）
ψ(3^1) = (3-1)*3^0 ， ψ(2^3) = (2-1)*2^2 （公式二）
其实代码中的那个for循环就相当于一个筛选，将质因子的幂次都筛掉，同时计算每个独立的 ψ(k) 。
