拓展欧几里得算法

拓展欧几里得算法解二元一次不定方程：a*x+b*y=m;

因为：gcd（a，b）|  a    ，   gcd（a，b）|  b   ；

所以：gcd（a，b）|  a*x   ,   gcd(a,b) | b*y   ==>  gcd(a,b)|(a*x+b*y)   ==>gcd(a,b)|m ;

所以要求a*x+b*y=m，可以先求a*x+b*y=gcd(a,b).

对于：a*x+b*y=gcd(a,b)

1.当b==0时，gcd(a,b)=a，此时x=1,y=0;

2.先求出 a*x+b*y=gcd(a,b) 的一组解。

因为 a*x1+b*y1=gcd(a,b)

       b*x2+a%by2=gcd(b,a%b)

且    gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

所以有a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2

从而得x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2

然后执行程序段：

void expgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
     if(b==0)
     {
          x=1;
          y=0;
          return ;
     }
     expgcd(b,a%b,x,y);
     int t=x;
     x=y;
     y=t-(a/b)*y;
}

得出一组解x0，y0;

又因为此时的解并非是原不定方程a*x+b*y=m的解并且gcd(a,b)|m

所以的原不定方程的一组解  x1=x0*(m/gcd(a,b))，y1=y0*(m/gcd(a,b))；

然后又因为原不定方程有无数组解，并且又有a*(x+(b/gcd(a,b)))+b*(y-(a/gcd(a,b)))=gcd(a,b)

所以得到原不定方程的所有解为

x=x1+b/gcd(a,b)*t;

y=y2-a/gcd(a,b)*t;(t=0,1,2,3,4,5......................)