整数的因子分解和质因子分解

整数因子分解

复杂度为\(O(sqrt(n))\)的方法，从1逐个数字判断即可，如果能够整除该数\(i\)，将\(i\)与\(n/i\)同时加入分解结果列表中去。需要注意去重，也就是避免\(i==n/i\)这种情况。java代码如下：

public List<Integer> factorDecode(int n) {
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    for(int i = 1; i * i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            if(i * i != n) {
                list.add(i);
                list.add(n/i);
            }
            else list.add(i);
        }
    }
    return list;
}

整数的质因子分解

整数的质因子分解是指，对于任何大于等于2的正整数\(n\),都有以下公式成立：

\[n = \prod_{i=1}^kp_i, p_i是素数 \]

也就是需要将n分解成质因数的连乘积。因为这样的分解一定存在，并且如果将这些质因数从小到大排列，那么这样的分解就是唯一的。假设上面的\(p_i\)已经排过序了，那么我们稍微改写一下公式，就能得到朴素的解法。

\[n/p1 = \prod_{i=2}^kp_i,pi是素数 \]

显然这是一个递归定义的过程，可以使用递归解法，也可以使用迭代解法，下面给出迭代解法的java代码:

public List<Integer> primeFactorDecode(int n) {
    int i = 2;
    List<Integer> ans = new ArrayList<>();
    while(n > 1) {
        while(n % i == 0) {
            ans.add(i);
            n /= i;
        }
        i++;
    }
    return ans;
}    

基于以上两种分解的一些变形题目

基于上面的两种整数分解方法，一些题目会在此基础稍微变形，但本质上还是进行这两种分解。比如，有的题目给出一个定义，定义n因子数，如4因子数，也就是当一个整数恰好有4个因子时，就是一个4因子数，给定一个数组，求出数组中有多少个这样的4因子数。直接按照定义遍历即可。