LeetCode-390 消除游戏

来源：力扣（LeetCode）
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题目描述

列表 arr 由在范围 [1, n] 中的所有整数组成，并按严格递增排序。请你对 arr 应用下述算法：

从左到右，删除第一个数字，然后每隔一个数字删除一个，直到到达列表末尾。
重复上面的步骤，但这次是从右到左。也就是，删除最右侧的数字，然后剩下的数字每隔一个删除一个。
不断重复这两步，从左到右和从右到左交替进行，直到只剩下一个数字。
给你整数 n ，返回 arr 最后剩下的数字。

 

示例 1：

输入：n = 9
输出：6
解释：
arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
arr = [2, 4, 6, 8]
arr = [2, 6]
arr = [6]

示例 2：

输入：n = 1
输出：1
 

提示：

1 <= n <= 10⁹

 

解题思路

这是一道约瑟夫环的数学题

假设在区间[1,i]中从左往右删除的删除后左边剩余的第一个编号为a(x),从右往左删除后右边剩余编号为b(x), 删除过程具有对称性，那么最终的结果也是关于n/2对称的，

比如 1 2 3 4 5 6 那么对于 b（x）来说，可以看做对6 5 4 3 2 1 做相同的操作，那么

a(x) 1 2 3 4 5 6

b(x) 6 5 4 3 2 1

操作相同，最终对于相同的x，a(x) + b(x) = 6 + 1 也就是 i + 1

所以第一个公式是a(x) + b(x) = i + 1

根据题意，在最初的时候，我们进行a操作，比如对1 2 3 4 5 6 进行了a操作，那么编号就变成了 2 4 6，然后将编号重新排序，变成了1 2 3 再进行b操作，这里得到一个关系，就是a操作得到的a(x)和其相邻的b操作中得到的b(x)有一个二倍关系。

所以第二个公式是a(x) = 2 * b(i / 2) 注意这里/为向下取整的整除

将第一个公式带入第二个，得递推公式a(x) = 2 * (i  / 2 + 1 - a(i / 2)

代码展示

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n) {
        return n == 1 ? 1 : 2 * (n / 2 + 1 - lastRemaining(n / 2));
    }
};

 

运行结果