浅谈信息熵（熵权法的应用）

信息是一个很抽象的东西，吃苹果的概率是二分之一，吃香蕉的概率是二分之一，这里面包含了多少信息量，由于信息很抽象，无法直观的量化。

　　信息熵原先是热力学中的名词，原先含义是表示分子状态的混乱程度。

　　香农引用了信息熵概念，因此，便有了信息论这一门学科，信息熵表示一个事件或者变量的混乱程度（也可称为一个事件的不确定性），将信息变成可以量化的变量。

　　综上所述，信息熵是信息论中用于度量信息量的一个概念。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以，信息熵也可以说是系统有序化程度的一个度量。高信息度的信息熵是很低的,低信息度的熵则高。具体说来， 凡是随机事件导致的变化，都可以用信息熵的改变量这个统一的标尺来度量。

 

　　换一种说法：信我们可以吧信息熵理解为一个随机变量出现的期望值，也就是说信息熵越大，该随机变量会有更多的形式。信息熵衡量了一个系统的复杂度，比如当我们想要比较两门课哪个更复杂的时候，信息熵就可以为我们作定量的比较，信息熵大的就说明那门课的信息量大，更加复杂。

　　举个例子：里约奥运会，女子自由泳决赛有两个国家，美国和中国，中国获胜的概率是80%，美国获胜的概率是20%。则谁获得冠军的信息熵=- 0.8 * log2 0.8 - 0.2 * log2 0.2 = 0.257 + 0.464 = 0.721。中国获胜的几率越高，计算出的熵就越小，即越是确定的情况，不确定性越小，信息熵越少。如果中国100%夺冠，那么熵是0，相当于没有任何信息。当两队几率都是50%最难判断，所熵达到最大值1。

 

　　信息熵有很多定义，但都类似，简单来说，就是信息熵可以衡量事物的不确定性，这个事物不确定性越大，信息熵也越大就是信息熵可以衡量事物的不确定性，这个事物不确定性越大，信息熵也越大。

 熵的一般公式是：

也可以写成：

借用一本书上的例子

　　32只球队共有32种夺冠的可能性，用多少信息量才能包括这32个结果？按照计算机的二进制（只有1和0）表示法，我们知道2^5=32 ,也就是需要5符号的组合结果就可以完全表示这32个变化，而这里的符号通常称之为比特。既然是这样，那么当一件事的结果越不确定时，也就是变化情况越多时，那么你若想涵盖所有结果，所需要的比特就要越多，也就是，你要付出的信息量越大，也即信息熵越大。当然，每个变化出现的概率不同，因而在香农的公式中才会用概率，所以信息熵算的是了解这件事所付出的平均信息量。比如这个例子里假设32只球队夺冠可能性相同，即Pi=1/32 ，那么按照香农公式计算：

entropy(P1,P2,...,P32)=-(1/32)log(1/32)-(1/32)log(1/32)......-(1/32)log(1/32)=5/32+5/32...+5/32=(5*32)/32 =5

 

信息熵同样可以用作数据挖掘中（如聚类分析过程）