图论算法

图论算法

第一节 基本概念

一、什么是图？ 　　

很简单，点用边连起来就叫做图，严格意义上讲，图是一种数据结构，定义为：graph=（V，E）。V是一个非空有限集合，代表顶点（结点），E代表边的集合。

二、图的一些定义和概念

(a)有向图：图的边有方向，只能按箭头方向从一点到另一点。(a)就是一个有向图。 (b)无向图：图的边没有方向，可以双向。(b)就是一个无向图。

结点的度：无向图中与结点相连的边的数目，称为结点的度。 结点的入度：在有向图中，以这个结点为终点的有向边的数目。

结点的出度：在有向图中，以这个结点为起点的有向边的数目。

权值：边的“费用”，可以形象地理解为边的长度。

连通：如果图中结点U，V之间存在一条从U通过若干条边、点到达V的通路，则称U、V 是连通的。

回路：起点和终点相同的路径，称为回路，或“环”。

完全图：一个n 阶的完全无向图含有n*(n-1)/2 条边；一个n 阶的完全有向图含有n*(n-1)条边； 　　　

稠密图：一个边数接近完全图的图。 　　　　

稀疏图：一个边数远远少于完全图的图。 　　　　

强连通分量：有向图中任意两点都连通的最大子图。右图中，1-2-5构成一个强连通分量。特殊地，单个点也算一个强连通分量，所以右图有三个强连通分量：1-2-5，4，3。

三、图的存储结构

1.二维数组邻接矩阵存储

定义int G[101][101]; G[i][j]的值，表示从点i到点j的边的权值，定义如下：

 

 

 

 

 

建立邻接矩阵时，有两个小技巧: 　

　初始化数组大可不必使用两重for循环。 　　

1)　　如果是int数组，采用memset(g, 0x7f, sizeof(g))可全部初始化为一个很大的数(略小于0x7fffffff)，使用memset(g, 0, sizeof(g))，全部清为0，使用memset(g, 0xaf, sizeof(g))，全部初始化为一个很小的数。　　

2)如果是double数组，采用memset(g,127,sizeof(g));可全部初始化为一个很大的数1.38*10306，使用memset(g, 0, sizeof(g))全部清为0.

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下面是建立图的邻接矩阵的参考程序段：

#include<iostream>                                                                                             
using namespace std;
int i,j,k,e,n;
double g[101][101];
double w;
int main()
{
    int i,j;
    for (i = 1; i <= n; i++)
      for (j = 1; j <= n; j++)
        g[i][j] = 0x7fffffff（赋一个超大值）;  //初始化，对于不带权的图g[i][j]=0，表示没有边连通。这里用0x7fffffff代替无穷大。
    cin >> e;
    for (k = 1; k <= e; k++)
    {
         cin >> i >> j >> w;             //读入两个顶点序号及权值
         g[i][j] = w;                    //对于不带权的图g[i][j]=1
         g[j][i] = w;                    //无向图的对称性,如果是有向图则不要有这句！
    } 
    …………
    return 0;
}

 

 

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2.数组模拟邻接表存储 　　

图的邻接表存储法，又叫链式存储法。本来是要采用链表实现的，但大多数情况下只要用数组模拟即可。 　　

以下是用数组模拟邻接表存储的参考程序段：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1001,maxm=100001;
struct Edge
{
    int next;                               //下一条边的编号 
    int to;                                 //这条边到达的点 
    int dis;                                //这条边的长度 
}edge[maxm];

int head[maxn],num_edge,n,m,u,v,d;

void add_edge(int from,int to,int dis)      //加入一条从from到to距离为dis的单向边 
{
    edge[++num_edge].next=head[from];
    edge[num_edge].to=to;
    edge[num_edge].dis=dis;
    head[from]=num_edge;
}
int main()
{
    num_edge=0;
    scanf("%d %d",&n,&m);                    //读入点数和边数
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
          scanf("%d %d %d",&u,&v,&d);   //u、v之间有一条长度为d的边 
          add_edge(u,v,d);
    }
    for(int i=head[1];i!=0;i=edge[i].next)   //遍历从点1开始的所有边 
    {
           //...
    }

    //...

    return 0;
}

两种方法各有用武之地，需按具体情况，具体选用。

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第二节 图的遍历

一、深度优先与广度优先遍历 　　

从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。

为了避免重复访问某个顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次后就改为true。 　　

图的遍历分为深度优先遍历和广度优先遍历两种方法，两者的时间效率都是O(n*n)。

1.深度优先遍历 　　

深度优先遍历与深搜DFS相似，从一个点A出发，将这个点标为已访问visited[i]:=true;，然后再访问所有与之相连，且未被访问过的点。

当A的所有邻接点都被访问过后，再退回到A的上一个点（假设是B），再从B的另一个未被访问的邻接点出发，继续遍历。 　　

例如对右边的这个无向图深度优先遍历，假定先从1出发 　　程序以如下顺序遍历： 　　1→2→5，然后退回到2，退回到1。 　　

从1开始再访问未被访问过的点3 ，3没有未访问的邻接点，退回1。 　　

再从1开始访问未被访问过的点4，再退回1 。 　　

起点1的所有邻接点都已访问，遍历结束。

2.广度优先遍历 　　

广度优先遍历并不常用，从编程复杂度的角度考虑，通常采用的是深度优先遍历。 　　

广度优先遍历和广搜BFS相似，因此使用广度优先遍历一张图并不需要掌握什么新的知识，在原有的广度优先搜索的基础上，做一点小小的修改，就成了广度优先遍历算法。

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二、一笔画问题 　　

如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。 　　

我们定义奇点是指跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图，我们有以下两个定理。 　　　

定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，有且只有2个奇点。 　　　

定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，有0个奇点。 　　

两个定理的正确性是显而易见的，既然每条边都要经过一次，那么对于欧拉路，除了起点和终点外，每个点如果进入了一次，显然一定要出去一次，显然是偶点。对于欧拉回路，每个点进入和出去次数一定都是相等的，显然没有奇点。 　

求欧拉路的算法很简单，使用深度优先遍历即可。 　　

根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行DFS，时间复杂度为O(m+n)，m为边数，n是点数。

以下是寻找一个图的欧拉路的算法实现：

样例输入:第一行n，m，有n个点，m条边，以下m行描述每条边连接的两点。

5 5

1 2

2 3

3 4

4 5

5 1

样例输出:欧拉路或欧拉回路

1 5 4 3 2 1

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 101
int g[maxn][maxn];               //此图用邻接矩阵存储
int du[maxn];                    //记录每个点的度，就是相连的边的数目
int circuit[maxn];               //用来记录找到的欧拉路的路径
int n,e,circuitpos,i,j,x,y,start;
void find_circuit(int i){         //这个点深度优先遍历过程寻找欧拉路
　 int j;
　 for (j = 1; j <= n; j++)
      if (g[i][j] == 1)          //从任意一个与它相连的点出发
　　   {
　　        g[j][i] = g[i][j] = 0; 
　　        find_circuit(j);
　　    } 
　　circuit[++circuitpos] = i;   //记录下路径
}
int main()
　　{
　　    memset(g,0,sizeof(g));
　　    cin >> n >> e;
　　    for (i = 1; i <= e; i++)
　　    {
　　        cin >> x >> y;
　　        g[y][x] = g[x][y] = 1;
　　        du[x]++;                    //统计每个点的度
　　        du[y]++;
　　    }
　　    start = 1;                      //如果有奇点，就从奇点开始寻找，这样找到的就是
　　    for (i = 1; i <= n; i++)        //欧拉路。没有奇点就从任意点开始，
　　       if (du[i]%2 == 1)            //这样找到的就是欧拉回路。(因为每一个点都是偶点)
              start = i;
　　    circuitpos = 0;
　　    find_circuit(start);
　　    for (i = 1; i <= circuitpos; i++)
　　        cout << circuit[i] << ' ';
　　    cout << endl;
　　    return 0;
}

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注意以上程序具有一定的局限性，对于下面这种情况它不能很好地处理：

 

 

 

上图具有多个欧拉回路，而本程序只能找到一个回路。读者在遇到具体问题时，还应对程序作出相应的修改。

第三节  最短路径算法

如下图所示，我们把边带有权值的图称为带权图。边的权值可以理解为两点之间的距离。一张图中任意两点间会有不同的路径相连。最短路径就是指连接两点的这些路径中最短的一条。 　　

 

 

　我们有四种算法可以有效地解决最短路径问题。有一点需要读者特别注意：边的权值可以为负。当出现负边权时，有些算法不适用。

  

一、求出最短路径的长度 　　

以下没有特别说明的话，dis[u][v]表示从u到v最短路径长度，w[u][v]表示连接u，v的边的长度。 1.Floyed-Warshall算法 O(N3) 　　

简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。Floyed的时间复杂度是O (N3)，适用于出现负边权的情况。 算法描述： 初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。 　　

如果不相连则dis[u][v]=0x7fffffff For (k = 1; k <= n; k++) For (i = 1; i <= n; i++) For (j = 1; j <= n; j++) If (dis[i][j] >dis[i][k] + dis[k][j]) dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; 算法结束：dis[i][j]得出的就是从i到j的最短路径。

算法分析&思想讲解： 　　三层循环，第一层循环中间点k，第二第三层循环起点终点i、j，算法的思想很容易理解：如果点i到点k的距离加上点k到点j的距离小于原先点i到点j的距离，那么就用这个更短的路径长度来更新原先点i到点j的距离。 　　在上图中，因为dis[1][3]+dis[3][2]<dis[1][2]，所以就用dis[1][3]+dis[3][2]来更新原先1到2的距离。 　　我们在初始化时，把不相连的点之间的距离设为一个很大的数，不妨可以看作这两点相隔很远很远，如果两者之间有最短路径的话，就会更新成最短路径的长度。Floyed算法的时间复杂度是O(N3)。

第四节 图的连通性问题

一、判断图中的两点是否连通

1、Floyed算法 　　　

时间复杂度：O(N3 )

算法实现： 　　把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=true,不相连的两点设为dis[i][j]=false，用Floyed算法的变形： 　

for (k = 1; k <= n; k++)

for (i = 1; i <= n; i++)

for (j = 1; j <= n; j++) 　

dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]); 　　

最后如果dis[i][j]=true的话，那么就说明两点之间有路径连通。 　

2、遍历算法 　　

时间复杂度：O(N2 )

算法实现： 　　从任意一个顶点出发，进行一次遍历，能够从这个点出发到达的点就与起点是联通的。

这样就可以求出此顶点和其它各个顶点的连通情况。

所以只要把每个顶点作为出发点都进行一次遍历，就能知道任意两个顶点之间是否有路存在。 　　

可以使用DFS实现。 　　

有向图与无向图都适用。

二、求有向图的强连通分量

Kosaraju算法可以求出有向图中的强连通分量个数，并且对分属于不同强连通分量的点进行标记。

它的算法描述较为简单： (1) 第一次对图G进行DFS遍历，并在遍历过程中，记录每一个点的退出顺序。以下图为例：

 

 

 

 

 

 

如果以1为起点遍历，访问结点的顺序如下：

 

结点第二次被访问即为退出之时，那么我们可以得到结点的退出顺序：

 

 

 

(2)倒转每一条边的方向，构造出一个反图G’。

然后按照退出顺序的逆序对反图进行第二次DFS遍历。我们按1、4、2、3、5的逆序第二次DFS遍历：

 

 

 

访问过程如下：

 

 

每次遍历得到的那些点即属于同一个强连通分量。

1、4属于同一个强连通分量，2、3、5属于另一个强连通分量。