Prim算法详解
• Prim算法是干什么的？
Prim算法可以计算出一个无向加权图的最小生成树
• 什么是最小生成树？
首先，树两个最重要的性质是①用一条边连接树中的任意两点都会产生一个新的环②从树中删除一条边将会得到两棵独立的树，最小生成树即为连接图中所有点，且总权重最小的树。最小生成树的性质：将图中的点分为两个集合，横跨两个集合的边中权重最
小的边必在最小生成树中（并不只有权重最小边在树中）
• 最小生成树的性质的证明：
用反证法，如果权重最小的边 e 不在树中，那和它横跨两个相同的集合且权重比它大的边 f 树一定在树中，如果把 e 加入树中，再将 f 删除，则得到一个权重更小的树，所以 e 必在树中
• Prim算法如何进行计算？
①选定一个点做为一个集合 a ，剩下的点为另一个集合 b
②将横跨两个集合且权重在其中最小的边加入最小生成树
③将刚刚加入最小生成树的边中不在集合 a 中的点加入集合 a，直到所有的点加入集合 a
具体到代码如何计算？
1 class MST { 2 private boolean[] marked; //点是否已在树中 3 private double[] distTo; //点到树的距离 4 private ArrayList<Edge> mst; //最小生成树 5 private EdgeWeightedGraph G; //要处理的图 6 private TreeMap<Double, Edge> pq; //保存一个点到树距离最短的边和那个距离 按距离从小到大的优先队列 7 8 public MST(EdgeWeightedGraph G) { 9 this.G = G; 10 int V = G.V(); 11 marked = new boolean[V]; 12 distTo = new double[V]; 13 mst = new ArrayList<>(); 14 pq = new TreeMap<>(); 15 //将所有点到树的距离设置为正无穷 16 for (int i = 0; i < distTo.length; i++) 17 distTo[i] = Double.POSITIVE_INFINITY; 18 //0到0的距离为0 19 distTo[0] = 0; 20 visit(0); 21 Edge tEdge; 22 23 while (!pq.isEmpty()) { 24 tEdge = pq.remove(pq.firstKey()); //从优先队列中取出距离树最短的边 25 mst.add(tEdge); //加入树中 26 //更新优先队列 27 int v = tEdge.either(); //either()返回边的任意一个点 28 if (!marked[v]) visit(v); 29 else visit(tEdge.other(v)); //other(v)返回除v外的另一个节点 30 } 31 } 32 /* 33 * 将v的边加入优先队列 34 */ 35 private void visit(int v) { 36 marked[v] = true; 37 for (Edge e : G.adj(v)) { //adj(v)返回该点的所有边 38 int w = e.other(v); 39 double weight = e.weight(); 40 //如果发现了使此点到树的距离更小的通路，则更新优先队列 41 if (weight < distTo[w]) { 42 //如果以前已经存过这个点w到最小生成树的边了 现在找到了权重更小的所以把它删除 43 pq.remove(distTo[w]); 44 distTo[w] = weight; //更新最小距离 45 pq.put(weight, e); //插入优先队列 46 } 47 } 48 } 49 50 public Iterable<Edge> edgs() { return mst;} 51 }
将树所有邻近的 点的到树距离最短的边 全部加入优先队列，从队列中拿出最短的边，将其加入树中
pq始终保存着树旁边所有的节点到树的最短距离
①将0加入mst，将0-7，0-2，0-4，0-6加入优先队列，其中0-7的权重最小
②将7加入mst，将7-1，7-4（因为发现了比0-4到树距离更小的边所以删了0-4，加入7-4），7-5，（7-2不加入因为原来的距离更小），其中7-1权重最小
