HDU1421:搬寝室(线性dp)

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1421

又是一道，没有思想的题，看了题解，我发现我的dp题几乎都看了题解，我总是想不好状态转移方程，汗颜，以后怎么比赛啊。

先排序，然后说一个数学问题。

首先，要怎么搬呢？即每一对要怎么取？如果有abcd四个数，且a<b<c<d，应该是取ab，cd好呢还是ac，bd好？抑或是bc，ad好呢？答案是第一种，因为：

(a-b)^2+(c-d)^2 < (a-c)^2+(b-d)^2
(a-b)^2+(c-d)^2 < (a-d)^2+(b-c)^2

即每对物品都应是重量最为接近的物品，也就是说对n件物品排序后，每对物品都应该是连续的。

定义数组w[i]为搬第i对物品所消耗的疲劳值；数组dp[n][k]来表示在n件物品中搬k对的最佳状态，而达到这一状态的决策可能为：

1. 第n件物品不搬，即在前n - 1件物品中搬k对，那么疲劳值仍为dp[n - 1][k]；
2. 第n件物品要搬，那么根据上面所证，第n - 1件物品也要同时搬，即在前n - 2件物品中搬k - 1对物品，再搬最后一对物品，那么疲劳值为dp[n - 2][k - 1] + w[n - 1]。

为使疲劳值最小，因此最佳策略为取两种决策中的最小值，即应使：

dp[n][k] = min(dp[n - 1][k], dp[n - 2][k - 1] + w[n - 1])

 

应该注意的是要考虑边界问题，dp[i][j]中：

1. 当2 * j > i时，即要搬的数量超过了物品总量，这是不可能发生的，因此此时令dp[i][j]为无穷大；
2. 当j == 0时，即在一对物品都没搬时，所需疲劳值应该是0，此时令dp[i][j] = 0。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <math.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,k,w[2010],dp[2010][1010];

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&w[i]);
        }
        sort(w+1,w+1+n);
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            w[i]=w[i+1]-w[i];
            w[i]=w[i]*w[i];
        }
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=k;j++)
            {
                dp[i][j]=inf;
            }
        }
        for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[i][0]=0;      //边界的处理
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j*2<=i;j++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-2][j-1]+w[i-1],dp[i-1][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][k]);
    }
    return 0;
}