SDUT3145:Integer division 1(换零钱背包)
题目:传送门
题目描述
整数划分是一个非常经典的数学问题。
所谓整数划分,是指把一个正整数n写成为n=m1+m2+...+mi的形式,其中mi为正整数,并且1<=mi<=n,此时,{m1, m2, ..., mi}为n的一个划分。如果{m1, m2, ..., mi}中的最大值不超过m,即max{m1, m2, ..., mi}<=m,那么我们称之为整数n的一个m划分。
现在给出你正整数n和m,请你输出n的m划分的数量。
例如,当n=4时,有5个划分,即{4}, {3,1}, {2,2}, {2,1,1}, {1,1,1,1}。
注意,4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。
输入
输入文件以EOF结束。
每组数据占一行,有两个正整数n和m。(n,m<=50)
输出
输出n的m划分的数量。
示例输入
4 4
示例输出
5
在比赛时通过做这题,明显发现了自己的不足,学过的知识理解的不透彻,明知道这题是神奇的换零钱的模板,但是没有推出来公式,还好我在模板里面找到了这题,1A。
代码如下:
#include <iostream> #include <algorithm> #include <math.h> #include <map> #include <queue> #include <stack> #define inf 0x3f3f3f3f #include <stdio.h> #include <string.h> typedef long long ll; #define mod 10000007 #define eps 1e-9 using namespace std; int n,m,dp[100]; int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { m=min(m,n); memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0]=1; for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=i;j<=n;j++) { dp[j]+=dp[j-i]; } } printf("%d\n",dp[n]); } return 0; }
递归暴力的方法:
如下:
根据n和m的关系,考虑一下几种情况:
(一)当n=1时,无论m的值为多少(m>0),只有一种划分,即{1}。
(二)当m=1时,无论n的值为多少,只有一种划分,即n个1,{ 1,1,…,1}。
(三)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为一下两种情况:
(1)划分中包含n的情况,只有一个,即{n}。
(2)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。
因此f(n,n)=1+f(n,n-1)。
(四)当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n)。
(五)当n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为以下两种情况:
(1)划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,…,xi}},其中{x1,x2,…,xi}的和为n-m,因此这种情况下为f(n-m,m)。
(2)划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1)。
因此f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)。