HDU1452:Happy 2004(求因子和+分解质因子+逆元）上一题的简单版

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题目要求：求S(2004^x)%29。

题目解析：因子和函数为乘性函数，所以首先质因子分解s(2004^x)=s(2^2*x)*s(3^x)*s(167^x);

 因为2与29，166与29互质，所以都存在逆元，直接解就可以。刚开始做的时候这题困扰了我很长时间。

这是我之前没怎么看懂的原因：同余性质  ： 若 a=b(mod m) 则 a^k=b^k (mod m)：
所以 167可以用 22代替，（对29 同余）

167%29==22%29

169^x%29==22^x%29

而为什么s(167^x)%29=(167^x+1 -1）/166%mod=(((167%29)^x+1 -1)%mod/(166%mod))%mod=(22^x+1 -1)/21%mod，但是我不怎么懂，他们为什么直接

根据s(167^x)%mod==s(22^x)%mod,现在貌似懂了。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define mod 29
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mpow(ll x,ll k)
{
    ll t=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) t=((t%mod)*(x%mod))%mod;
        k>>=1;
        x=((x%mod)*(x%mod))%mod;
    }
    return t;
}
ll X,Y;
void extend(ll A,ll B,ll &x1,ll &y1)
{
    if(B==0)
    {
       x1=1;
       y1=0;
       return ;
    }
    extend(B,A%B,x1,y1);
     ll t=x1;
     x1=y1;
     y1=t-(A/B)*y1;
}
int main()
{
    int n;
    ll a,b,c,sum,temp;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0)
    {
        sum=1;
        temp=2*n+1;
        a=mpow(2,temp);
        a=(a-1)%mod;
        b=mpow(3,n+1);
        b=(b-1)%mod;
        b=(b*15)%mod;
        c=mpow(167,n+1);
        c=(c-1)%mod;
        extend(166,29,X,Y);
        X=(X%mod+mod)%mod;
        c=(c*X)%mod;
        sum=((a%mod)*(b%mod)*(c%mod))%mod;
        printf("%I64d\n",sum);
    }
    return 0;
}