整数（质因子）分解（Pollard rho大整数分解）
整数分解，又称质因子分解。在数学中，整数分解问题是指：给出一个正整数，将其写成几个素数的乘积的形式。
(每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。)
1.试除法（适用于范围比较小）
无论素数判定还是因子分解，试除法(Trial Division)都是首先要进行的步骤。令m=n,从2~根n一一枚举，如果当前数能够整除m，那么当前数就是n的素数因子，并用整数m
将当前数除尽为止。
若循环结束后m是大于1的整数，那么此时m也是n的素数因子。
事例如HDU1164:15mm
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <math.h> #define N 65535 using namespace std; int factor[N],top; void divide(int n) { for(int i=2; i<=sqrt(n+0.0); i++) { while(n%i==0) { top++; factor[top]=i; n/=i; } } if(n!=1) { top++; factor[top]=n; } for(int i=1; i<=top-1; i++) { printf("%d*",factor[i]); } printf("%d\n",factor[top]); return ; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { top=0; divide(n); } return 0; }
2.筛选法对整数分解
试除法进行了许多不必要的运算，先将2~根n的所有素数打表，然后对应素数表一一试除将会大大节约时间。
事例如HDU1164:0mm
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <math.h> #define N 65540 using namespace std; int factor[N],top,cnt,prime[N]; bool b[N]; void make_prime() { top=0; b[0]=b[1]=false; b[2]=true; prime[++top]=2; for(int i=3; i<N; i++) if(i%2==0) b[i]=false; else b[i]=true; double t=sqrt(1000000*1.0); for(int i=3; i<=t; i++) { if(b[i]) { prime[++top]=i; for(int j=i*i; j<N; j=j+i) { b[j]=false; } } } } void divide(int n) { cnt=0; int temp=sqrt(n+0.0); for(int i=1; i<=top; i++) { if(prime[i]>temp) break; while(n%prime[i]==0) { cnt++; factor[cnt]=prime[i]; n/=prime[i]; } } if(n!=1) { cnt++; factor[cnt]=n; } for(int i=1; i<=cnt-1; i++) { printf("%d*",factor[i]); } printf("%d\n",factor[cnt]); return ; } int main() { int n; make_prime(); while(scanf("%d",&n)!=EOF) { divide(n); } return 0; }
3.pollard rho快速因数分解(没看懂，仅当模版用）针对于比较大的整数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。
对于因子很少，因子值却很大的数n，该方法不是很有效。
模版：
POJ1181:
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <time.h> #include <algorithm> typedef long long ll; #define Time 15 //随机算法判定次数，Time越大，判错概率越小 using namespace std; ll n,ans,factor[10001];//质因数分解结果（刚返回时是无序的） ll tol;//质因数的个数，数组下标从0开始 //**************************************************************** // Miller_Rabin 算法进行素数测试 //速度快，而且可以判断 <2^63的数 //**************************************************************** long long mult_mod(ll a,ll b,ll c)//计算 (a*b)%c. a,b都是ll的数，直接相乘可能溢出的 { a%=c;// 利用二分思想减少相乘的时间 b%=c; ll ret=0; while(b) { if(b&1) { ret+=a; ret%=c; } a<<=1; if(a>=c)a%=c; b>>=1; } return ret; } ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)//x^n%n { if(n==1)return x%mod; x%=mod; ll tmp=x; ll ret=1; while(n) { if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod); tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod); n>>=1; } return ret; } //以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数 //一定是合数返回true,不一定返回false //二次探测 bool check(ll a,ll n,ll x,ll t) { ll ret=pow_mod(a,x,n); ll last=ret; for(int i=1; i<=t; i++) { ret=mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数 last=ret; } if(ret!=1) return true; return false; } // Miller_Rabin()算法素数判定 //是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小) //合数返回false; bool Miller_Rabin(ll n) { if(n<2)return false; if(n==2||n==3||n==5||n==7)return true; if(n==1||(n%2==0)||(n%3==0)||(n%5==0)||(n%7==0)) return false;//偶数 ll x=n-1; ll t=0; while((x&1)==0) { x>>=1; t++; } for(int i=0; i<Time; i++) { ll a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件 if(check(a,n,x,t)) return false;//合数 } return true; } //************************************************ //pollard_rho 算法进行质因数分解 //************************************************ ll gcd(ll a,ll b) { if(a==0)return 1; if(a<0) return gcd(-a,b); while(b) { long long t=a%b; a=b; b=t; } return a; } ll Pollard_rho(ll x,ll c) { ll i=1,k=2; ll x0=rand()%x; ll y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; long long d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k) { y=x0; k+=k; } } } //对n进行素因子分解 void findfac(ll n) { if(Miller_Rabin(n))//素数 { factor[tol++]=n; return; } ll p=n; while(p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); findfac(p);//递归调用 findfac(n/p); } int main() { int T; //srand(time(NULL));加上RE不懂 scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%lld",&n);//(n>=2) /*if(n==1) { printf("1\n"); continue; }*/ if(Miller_Rabin(n)) { printf("Prime\n"); continue; } tol=0; findfac(n);//对n分解质因子 ll ans=factor[0]; for(int i=1; i<tol; i++) if(factor[i]<ans) ans=factor[i]; /*for(int i=0;i<tol;i++) { printf("%lld\n",factor[i]); }*/ printf("%lld\n",ans); } return 0; }
Kuangbin写的。
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include<iostream> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> using namespace std; //**************************************************************** // Miller_Rabin 算法进行素数测试 //速度快，而且可以判断 <2^63的数 //**************************************************************** const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小 //计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的 // a,b,c <2^63 long long mult_mod(long long a,long long b,long long c) { a%=c; b%=c; long long ret=0; while(b) { if(b&1){ret+=a;ret%=c;} a<<=1;//别手残，这里是a<<=1,不是快速幂的a=a*a; if(a>=c)a%=c; b>>=1; } return ret; } //计算 x^n %c long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c { if(n==1)return x%mod; x%=mod; long long tmp=x; long long ret=1; while(n) { if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod); tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod); n>>=1; } return ret; } //以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数 //一定是合数返回true,不一定返回false bool check(long long a,long long n,long long x,long long t) { long long ret=pow_mod(a,x,n); long long last=ret; for(int i=1;i<=t;i++) { ret=mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数 last=ret; } if(ret!=1) return true; return false; } // Miller_Rabin()算法素数判定 //是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小) //合数返回false; bool Miller_Rabin(long long n) { if(n<2)return false; if(n==2)return true; if((n&1)==0) return false;//偶数 long long x=n-1; long long t=0; while((x&1)==0){x>>=1;t++;} for(int i=0;i<S;i++) { long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件 if(check(a,n,x,t)) return false;//合数 } return true; } //************************************************ //pollard_rho 算法进行质因数分解 //************************************************ long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的） int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始 long long gcd(long long a,long long b) { if(a==0)return 1;//??????? if(a<0) return gcd(-a,b); while(b) { long long t=a%b; a=b; b=t; } return a; } long long Pollard_rho(long long x,long long c) { long long i=1,k=2; long long x0=rand()%x; long long y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; long long d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k){y=x0;k+=k;} } } //对n进行素因子分解 void findfac(long long n) { if(Miller_Rabin(n))//素数 { factor[tol++]=n; return; } long long p=n; while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); findfac(p); findfac(n/p); } int main() { // srand(time(NULL));//需要time.h头文件 //POJ上G++要去掉这句话 int T; long long n; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%I64d",&n); if(Miller_Rabin(n)) { printf("Prime\n"); continue; } tol=0; findfac(n); long long ans=factor[0]; for(int i=1;i<tol;i++) if(factor[i]<ans) ans=factor[i]; printf("%I64d\n",ans); } return 0; }
