常用数学公式

逐步更新：

皮克公式：

给定顶点均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点a，边上格点数目b的关系：
S=a + b/2 -1;
（其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形
的面积）

 gcd与lcm:

lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b);
g(a,b)为最大公约数
因为a=gcd(a,b)*i; b=gcd(a,b)*j;
最小公倍数为gcd(a,b)*i*j
求gcd:
long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0) return a;
    return  gcd(b,a%b);
}

 扩展欧几里得算法：

二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即

如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。

返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，

∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。

一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

证明：例ax+by=c

证明很简单，由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0，所以a*x+b*y肯定能够整除gcd(a,b)，如果线性方程成立，那么就可以用m代替a*x+b*y，从而得到上面的结论，利用上面的结论就可以用来判断一个线性方程是否有解。

扩展欧几里德算法：扩展欧几里得算法（又称扩充欧几里得算法）是用来解某一类特定的不定方程的一种方法，常用用来求解模线性方程及方程组。扩展的欧几里得算法可以用来计算模逆元，而模逆元在公钥密码学中占有举足轻重的地位。[6-7]   
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab≠0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。[8] 

floor函数与ceil函数 ：

floor(x),有时候也写做Floor(x)，其功能是“下取整”，或者说“向下舍入”，即取不大于x的最大整数，如x=3.14，floor(x)=3。       

ceil函数的作用是求不小于给定实数的最小整数。如ceil(2)=ceil(1.2)=cei(1.5)=2.00

使用该函数需要包含头文件<math.h>,该函数返回值为double型注意：据权威资料显示，floor函数与ceil函数的返回值均为double型

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同余：若若a==b(modk);//在这里的==指的是同余，=表示相等

即a-b=kt(t为整数)  ，同上原理若a (mod k)=b->a-b=kt (t为整数)。

费马小定理： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）