快速幂取模算法

快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。——bybaidu

原理：

以求a的b次方来介绍

把b转换成二进制数。

该二进制数第i位的权为

。

例如：

11的二进制是  1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为算

。

 

实现：

快速幂可以用位运算这个强大的工具实现。

代码比较：

常规求幂

intpow1(int a,int b)
{
    int r=1;
    while(b--)
        r*=a;
    return r;
}

二分求幂（一般）

intpow2(int a,int b)
{
    int r=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2)
            r*=base;
        base*=base;
        b/=2;
    }
    return r;
}

 

快速求幂（位操作）

intpow3(int a,int b)
{
    int r=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1)
            r*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
    }
    return r;
}

 

其中二分求幂与快速求幂都是利用了二进制数的思想。

蒙哥马利快速幂取模算法，简单漂亮

int pow3(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    a=a%c;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

 算法详解：

公式：（a*b)mod c=[(a mod c)*(b mod c)]mod c;

证明：

a mod c=d => a=t*c+d;

b mod c=e => b=k*c+e;

a*b mod c= (t*c+d)*(k*c+e)mod c

=(t*k*c*c+(t*e+d*k)*c+d*e)mod c

=d*e mod c=[(a mod c)*(b mod c)]mod c;

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余积的取余。

 

公式：a^b mod c =(a mod c)^b mod c;

证明：[(a mod c)^b]mod c

=[((a mod c) mod c)^b]mod c(由上面公式的迭代）

 [(a mod c)^b]modc=a^b mod c;

证明了以上公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减小a的大小。