差分约束算法

差分约束系统有两种方式可以求解,最短路和最长路。当我们把不等式整理成d[a]+w<=d[b]时,我们求最长路。整理成d[a]+w>=d[b]时,我们求最短路。当求最短路时,我们通常要把各点距离初始化为正无穷,求最短路,把各点距离逐渐减小,直到符合所有不等式。也就是开始 各点不符合条件,后来通过减小变得符合了,所以一定是符合条件的最大值。既然是求最大值,并且是减小各点距离,也就是把各点由数轴的右侧向左侧拉,所以我 们一定要选择一个最终在数轴最左侧的点,并初始化为0,把所有正无穷的点拉近到符合不等式。最长路同理。

 最短路求得是最大值,最长路求得是最小值。

 

(本文假设读者已经有以下知识:最短路径的基本性质、Bellman-Ford算法。)
    比如有这样一组不等式:
   

X1 - X2 <= 0
X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1
X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4
X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3
X5 - X4 <= -3

不等式组(1)


    全都是两个未知数的差小于等于某个常数(大于等于也可以,因为左右乘以-1就可以化成小于等于)。这样的不等式组就称作差分约束系统。
    这个不等式组要么无解,要么就有无数组解。因为如果有一组解{X1, X2, ..., Xn}的话,那么对于任何一个常数k,{X1 + k, X2 + k, ..., Xn + k}肯定也是一组解,因为任何两个数同时加一个数之后,它们的差是不变的,那么这个差分约束系统中的所有不等式都不会被破坏。
   
    差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。即对于任何一条边u -> v,都有:
d(v) <= d(u) + w(u, v)

    其中d(u)和d(v)是从源点分别到点u和点v的最短路径的权值,w(u, v)是边u -> v的权值。
    显然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。这个形式正好和差分约束系统中的不等式形式相同。于是我们就可以把一个差分约束系统转化成一张图,每个未知数Xi对应图中的一个顶点Vi,把所有不等式都化成图中的一条边。对于不等式Xi - Xj <= c,把它化成三角形不等式:Xi <= Xj + c,就可以化成边Vj -> Vi,权值为c。最后,我们在这张图上求一次单源最短路径,这些三角形不等式就会全部都满足了,因为它是最短路径问题的基本性质嘛。
    话说回来,所谓单源最短路径,当然要有一个源点,然后再求这个源点到其他所有点的最短路径。那么源点在哪呢?我们不妨自已造一个。以上面的不等式组为例,我们就再新加一个未知数X0。然后对原来的每个未知数都对X0随便加一个不等式(这个不等式当然也要和其它不等式形式相同,即两个未知数的差小于等于某个常数)。我们索性就全都写成Xn - X0 <= 0,于是这个差分约束系统中就多出了下列不等式:
   
X1 - X0 <= 0
X2 - X0 <= 0
X3 - X0 <= 0
X4 - X0 <= 0
X5 - X0 <= 0

不等式组(2)


    对于这5个不等式,也在图中建出相应的边。最后形成的图如下:

image
图1

    图中的每一条边都代表差分约束系统中的一个不等式。现在以V0为源点,求单源最短路径。最终得到的V0到Vn的最短路径长度就是Xn的一个解啦。从图1中可以看到,这组解是{-5, -3, 0, -1, -4}。当然把每个数都加上10也是一组解:{5, 7, 10, 9, 6}。但是这组解只满足不等式组(1),也就是原先的差分约束系统;而不满足不等式组(2),也就是我们后来加上去的那些不等式。当然这是无关紧要的,因为X0本来就是个局外人,是我们后来加上去的,满不满足与X0有关的不等式我们并不在乎。
    也有可能出现无解的情况,也就是从源点到某一个顶点不存在最短路径。也说是图中存在负权的圈。这一点我就不展开了,请自已参看最短路径问题的一些基本定理。

    其实,对于图1来说,它代表的一组解其实是{0, -5, -3, 0, -1, -4},也就是说X0的值也在这组解当中。但是X0的值是无可争议的,既然是以它作为源点求的最短路径,那么源点到它的最短路径长度当然是0了。因此,实际上我们解的这个差分约束系统无形中又存在一个条件:

X0 = 0

    也就是说在不等式组(1)、(2)组成的差分约束系统的前提下,再把其中的一个未知数的值定死。这样的情况在实际问题中是很常见的。比如一个问题表面上给出了一些不等式,但还隐藏着一些不等式,比如所有未知数都大于等于0或者都不能超过某个上限之类的。比如上面的不等式组(2)就规定了所有未知数都小于等于0。
   
    对于这种有一个未知数定死的差分约束系统,还有一个有趣的性质,那就是通过最短路径算法求出来的一组解当中,所有未知数都达到最大值。下面我来粗略地证明一下,这个证明过程要结合Bellman-Ford算法的过程来说明。
    假设X0是定死的;X1到Xn在满足所有约束的情况下可以取到的最大值分别为M1、M2、……、Mn(当然我们不知道它们的值是多少);解出的源点到每个点的最短路径长度为D1、D2、……、Dn。
    基本的Bellman-Ford算法是一开始初始化D1到Dn都是无穷大。然后检查所有的边对应的三角形不等式,一但发现有不满足三角形不等式的情况,则更新对应的D值。最后求出来的D1到Dn就是源点到每个点的最短路径长度。
    如果我们一开始初始化D1、D2、……、Dn的值分别为M1、M2、……、Mn,则由于它们全都满足三角形不等式(我们刚才已经假设M1到Mn是一组合法的解),则Bellman-Ford算法不会再更新任合D值,则最后得出的解就是M1、M2、……、Mn。
    好了,现在知道了,初始值无穷大时,算出来的是D1、D2、……、Dn;初始值比较小的时候算出来的则是M1、M2、……、Mn。大家用的是同样的算法,同样的计算过程,总不可能初始值大的算出来的结果反而小吧。所以D1、D2、……、Dn就是M1、M2、……、Mn。
   
    那么如果在一个未知数定死的情况下,要求其它所有未知数的最小值怎么办?只要反过来求最长路径就可以了。最长路径中的三角不等式与最短路径中相反:
d(v) >= d(u) + w(u, v)
也就是 d(v) - d(u) >= w(u, v)

    所以建图的时候要先把所有不等式化成大于等于号的。其它各种过程,包括证明为什么解出的是最小值的证法,都完全类似。
    
    用到差分约束系统的题目有ZJU 2770,祝好运。
 
 

一直不知道差分约束是什么类型题目,最近在写最短路问题就顺带看了下,原来就是给出一些形如x-y<=b不等式的约束,问你是否满足有解的问题

好神奇的是这类问题竟然可以转换成图论里的最短路径问题,下面开始详细介绍下

比如给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我们可以把a,b,c转换成三个点,k1,k2,k3是边上的权,如图

由题我们可以得知,这个有向图中,由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比较k1+k2和k3的大小,求出最小的就是c-a的最大值了

根据以上的解法,我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径,没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c -a<=k的一个

推广的不等式约束,既然这样,满足题目的肯定是最小的k,也就是从a到c最短距离...

理解了这里之后,想做题还是比较有困难的,因为题目需要变形一下,不能单纯的算..

首先以poj3159为例,这个比较简单,就是给出两个点的最大差,然后让你求1到n的最大差,直接建图后用bellman或者spfa就可以过了

稍微难点的就是poj1364,因为他给出的不等式不是x-y<=k形式,有时候是大于号,这样需要我们去变形一下,并且给出的还是>,<没有等于,都要变形

再有就是poj1201,他要求出的是最长距离,那就要把形式变换成x-y>=k的标准形式

注意点:

1. 如果要求最大值想办法把每个不等式变为标准x-y<=k的形式,然后建立一条从y到x权值为k的边,变得时候注意x-y<k =>x-y<=k-1

   如果要求最小值的话,变为x-y>=k的标准形式,然后建立一条从y到x的k边,求出最长路径即可

2.如果权值为正,用dj,spfa,bellman都可以,如果为负不能用dj,并且需要判断是否有负环,有的话就不存在

 

 

posted @ 2014-08-22 14:37  人艰不拆_zmc  阅读(9576)  评论(1编辑  收藏  举报