趣写算法系列之--匈牙利算法(真的很好理解)

匈牙利算法用于200~300个点;

【书本上的算法往往讲得非常复杂,我和我的朋友计划用一些简单通俗的例子来描述算法的流程】

 

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出,因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等,看得头大?那么请看下面的版本:

通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(惊讶-_-||暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉快哭了),你拥有的大概就是下面这样一张关系图,每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:

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一: 先试着给1号男生找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线

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:接着给2号男生找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it

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:接下来是3号男生,很遗憾1号女生已经有主了,怎么办呢?

我们试着给之前1号女生匹配的男生(也就是1号男生)另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配(发火发火)重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的,这是一个递归的过程)

 

此时发现2号男生还能找到3号女生,那么之前的问题迎刃而解了,回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是:

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: 接下来是4号男生,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程,其中找妹子是个递归的过程,最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是:有机会上,没机会创造机会也要上

【code】

  1. bool find(int x){  
  2.     int i,j;  
  3.     for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子  
  4.         if (line[x][j]==true && used[j]==false)        
  5.         //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题,但是没有成功,所以就不用瞎费工夫了)  
  6.         {  
  7.             used[j]=1;  
  8.             if (girl[j]==0 || find(girl[j])) {   
  9.                 //名花无主或者能腾出个位置来,这里使用递归  
  10.                 girl[j]=x;  
  11.                 return true;  
  12.             }  
  13.         }  
  14.     }  
  15.     return false;  
  16. }  

在主程序我们这样做:每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

 

  1. for (i=1;i<=n;i++)  
  2. {  
  3.     memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空  
  4.     if find(i) all+=1;  
  5. }  

二分图的一些知识点:

0 定义

    设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集,并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。也就是说在二分图中,顶点可以分为两个集合X和Y,每一条边的两个顶点都分别位于X和Y集合中。如下图所示:

二分图

1 最大匹配
    在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题,最大匹配的边数称为最大匹配数.如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配。如果在左右两边加上源汇点后,图G等价于一个网络流,二分图最大匹配问题可以转为最大流的问题。解决此问的匈牙利算法的本质就是寻找最大流的增广路径。上图中的最大匹配如下图红边所示:

二分图

2 最优匹配

最优匹配又称为带权最大匹配,是指在带有权值边的二分图中,求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同,最优匹配也是一个完备匹配,即每个顶点都被匹配。如果个数不相等,可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。

 

3 最小覆盖

二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖:

①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联,二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数;

②最小路径覆盖也称为最小边覆盖,是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数;

 

4 最大独立集

    最大独立集是指寻找一个点集,使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说,最大独立集是一个NP完全问题,对于二分图来说最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。如下图中黑色点即为一个最大独立集:

二分图



一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。

最小点覆盖:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。

http://hi.baidu.com/gttyatjqasmpuye/item/44004958dc0e513e32e0a97c

posted @ 2014-08-17 21:20  人艰不拆_zmc  阅读(1060)  评论(0编辑  收藏  举报