最小生成树---Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
示例图演示:
下面对算法的图例描述:
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
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这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
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现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
示例图演示:
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
下面使用java程序演示Prim算法：
代码如下:
package com.itheima.primer; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Scanner; /** * 最小生成树(普里姆算法(Prim算法)) * @author zhangming * @date 2016/04/20 */ public class MinTreePrimer { private static List<Vertex> visitedVertexs,leftedVertexs; //分别为添加到集合U中的节点集和剩余的集合V中的节点集 private static List<Edge> searchEdges; //初始化图的信息 public static void initGraph(Graph g){ visitedVertexs = new ArrayList<Vertex>(); leftedVertexs = new ArrayList<Vertex>(); searchEdges = new ArrayList<Edge>(); Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.print("输入顶点数: "); int vertexNumber = sc.nextInt(); System.out.print("请输入边数: "); int edgeNumber = sc.nextInt(); String[] allVertex = new String[vertexNumber]; String[] allEdge = new String[edgeNumber]; System.out.println("================================="); System.out.println("请输入各个顶点:"); Scanner scanner = new Scanner(System.in); for(int i=0;i<vertexNumber;i++){ System.out.print("顶点"+(i+1)+":"); allVertex[i] = scanner.nextLine(); } System.out.println("================================="); for(int i=0;i<edgeNumber;i++){ System.out.print("输入边(Vi,Vj)中的顶点名称和权值W(如:A B 7): "); allEdge[i] = scanner.nextLine(); } g.vertex = new Vertex[allVertex.length]; g.edge = new Edge[allEdge.length]; g.minWeight = 0; for(int i=0;i<allVertex.length;i++){ g.vertex[i] = new Vertex(); g.vertex[i].vName = allVertex[i]; leftedVertexs.add(g.vertex[i]); //初始化剩余点集合 } for(int i=0;i<allEdge.length;i++){ g.edge[i] = new Edge(); g.edge[i].startVertex = new Vertex(); g.edge[i].endVertex = new Vertex(); String edgeInfo[] = allEdge[i].split(" "); g.edge[i].startVertex.vName = edgeInfo[0]; g.edge[i].endVertex.vName = edgeInfo[1]; g.edge[i].weight = Integer.parseInt(edgeInfo[2]); } } public static void onChangeVertex(Vertex vertex){ visitedVertexs.add(vertex); //添加初始节点,作为默认的开始节点 leftedVertexs.remove(vertex); } public static Vertex findOneVertex(Graph g){ int minValue = Integer.MAX_VALUE; Vertex findVertex = new Vertex(); Edge findEdge = new Edge(); for(int i=0;i<visitedVertexs.size();i++){ for(int j=0;j<leftedVertexs.size();j++){ Vertex v1 = visitedVertexs.get(i); Vertex v2 = leftedVertexs.get(j); //获取两个顶点的名称 for(int k=0;k<g.edge.length;k++){ String startName = g.edge[k].startVertex.vName; String endName = g.edge[k].endVertex.vName; if((v1.vName.equals(startName) && v2.vName.equals(endName))
||(v1.vName.equals(endName) && v2.vName.equals(startName))){ if(g.edge[k].weight < minValue){ findEdge = g.edge[k]; minValue = g.edge[k].weight; if(leftedVertexs.contains(v1)){ //会调用对象的equals方法比较对象,需重写equals方法 findVertex = v1; }else if(leftedVertexs.contains(v2)){ findVertex = v2; } } } } } } g.minWeight+= minValue; searchEdges.add(findEdge); return findVertex; } public static void prim(Graph g){ while(leftedVertexs.size()>0){ //直到剩余节点集为空时结束循环 Vertex findVertex = findOneVertex(g); onChangeVertex(findVertex); } System.out.print("\n最短路径包含的边: "); for(int i=0;i<searchEdges.size();i++){ System.out.print("("+searchEdges.get(i).startVertex.vName+","+searchEdges.get(i).endVertex.vName+")"+" "); } System.out.println("\n最短路径长度: "+g.minWeight); } public static void main(String[] args) { Graph g = new Graph(); initGraph(g); onChangeVertex(g.vertex[0]); prim(g); } } /** * 顶点类Vertex */ class Vertex{ String vName; //顶点的名称 @Override public boolean equals(Object obj) { if(obj instanceof Vertex){ Vertex vertex = (Vertex)obj; return this.vName.equals(vertex.vName); } return super.equals(obj); } } /** * 边类Edge */ class Edge{ Vertex startVertex; Vertex endVertex; int weight; } /** * 图的存储结构 */ class Graph{ Vertex[] vertex; //顶点集 Edge[] edge; //边集 int minWeight; //最短路径 }
运行结果截图:
