能计算虫洞模型的算筹数字计算机3
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第十一部分 古筹算考释计算电路
下面的内容可参见清劳乃宣著《古筹算考释》，清劳乃宣，字玉初，桐乡人。此集系追述古代筹算之法，凡算术之涉乎筹者，均徽引著书，祥为考释。卷一筹制、算位、乘除、开方；卷二，今有、诸分；卷三，衰分、盈不足；卷四，方程；卷五，天元，卷六：正负开方。另有光绪九年葵未七月自序，约章篆要附西教源流考。按此书会刊于光绪十二年。
乘除
《孙子算经》曰，凡乘之法，重置其位，上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千，以上命下，所得之数，列于中位，言十自过，不满自如，上位乘讫者，先去之，下位乘讫者，则俱退之，六不积，五不复，上下相乘，至尽则已。重置其位者，置实于上，置法于下，空留中位，以待乘得之数也。上下相观者。法与实单当，单十当十也，步者，进法数于实首位之下，以定乘出之位也。以法单位当所乘位，法单位下如有奇零不计。言十即过不满自如者，上下相呼满十者，过法数前一位置之，不满十者，如法数本位置之也，一一如一，二二如四，如字之解九是，乘讫去上位，退下位者，实首位既乘八毕，收去不用，退法以当实次位而二木之也。相乘至尽，上下俱收，中位所得，乃乘出之数也。
注释：上面一段话的描述的是通过算筹计算两个数相乘的过程，这种计算方法和我们现在用笔算计算两个数相乘的过程是相同的。我们用笔算计算两个数相乘的过程如下，两个数相乘，先用被除数和乘数的个位，百位，千位等相乘，得到的数相加就是两个数相乘的结果。
又曰凡除之法与乘乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实，以六除一，则法多而实少，不可除。故当退就十位，以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之。不当后退。故三步法十者置于十位，百者置于百位。上位有空本位，法退二位。本位皆如乘时，实有余者，以法命之，以法为母，实为子，
乘得在中央，除得在上方者，除法置实于中。置法于下，得数在上，除之实数，即乘之得数，故在中，除之得数，乃乘之实数，故在上，还原之理也。其步法，实满法者，进法首齐实首，实不满法者，实法首退实首一位，步定乃商之，视实足法几倍，即商几数。置之上位，凡商恒当法单位，不步者，法单本在单，即商单。步进一位者，法单在十，即商十，步进二位者法单在百，即商百，千万以上者皆然。故曰步法十者置于十位，百者置于百位也。与乘法以法单当所乘正相对待，商定以商典法相呼而除实。言十即遇不满自如，与乘法同，除法古谓之实如法而一，言实首如法者一为一，有如法者几则为几，即此商除之理也。除已，退法一位，再商除之，一退实仍不满法者，再退之，商数当空一位，所谓上位有空绝者法退二位也。除实适尽收去法数，上商即得数也，
原书注释：
凡除法至单而至，其有除至单数，而何有不尽之所实者，着再退位商之，其数奇零，修多能尽，故立命为之法，其法以法数为分母，以不尽之余实为分子，命之曰几分之几母者，将一整数刻为若干零分之母知此子者，为商中零分之几分也。注释结束。
故曰实为余者，以法命之，以法为母，实为子。
孙子算经曰，九九八十一自乘，得几何，答曰，六千五百六十一，术曰，重置其位，以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位，以上八呼下一，一八如八，即于中位下八十，退下位一等，收上位八十，以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十，以上为一呼下一，一一如一，即于中位下一，上下位俱收中位，即得六千五百六十一。
孙子算经又曰，六千五百六十一，九人分之，问人得几何，答曰，七百二十九，术曰，先置六千五百六十一于中位，为实，下列九人，为法，上位置七百，以上七呼下九，七九六十三，即除中位六千三百，退下位一等，即上位置二十，以上二呼下九，二九十八，即除中位一百八十，又更退下位一等，即上位更置九，即上九呼下九，九九八十一，即除中位八十一，中位益尽，收下位上位所得，即人之所得，此除法也亦依法定草绘图以明之。
注释，上面说明的计算乘法，除法的过程和用笔算计算乘法除法的过程类似，都是通过一位数和上面的数相乘，相除，得到计算结果。可以用电路描述上面的计算过程，就是说上面的算筹怎么变化，电路就怎么选择那个算筹对应发光二极管量，这需要大量的数字判断，选择电路来实现。
梅氏笔算曰，假如十九人分银二百五十四两，问各若干，答曰，九十三两零十九分两之七。此命分法也，凡除之不尽者，皆当以法命之，所以通除法之穷也，古人言除法，必言命分笔算，所之抄皆自此如生矣。
置银二百五十四两于中位，为实，置十九人于下位，为法，步进一位而商之，商一，置一于上十位，以上一呼下，于中位除去一百九十。余六十四，为次商实，退下位一等而商之，商三，置三于上单位，以上呼下，于中位除去三十，二十七，上商得一十三两，中实除七已至单位，最再退下位而商一，当得三钱六分八里四毫二丝一白，省当修不能尽，故商之单位为下必再除，便命下法十九为分母，中位实七为分子，是为各十三两零十九分两之七也。每人得十三两，又等每一两分为十九分中之七分，皆上位整数，下位分母也，皆为分子也。
上面描述的是下面的计算过程，
254/19=13*(7/19)，254-190=64。64-19*3=7。
二，开方
九章算术曰，今有积五万五千二百二十五步，开为方几何，答曰，二百三十五步。古法草曰，置积五万五千二百二十五步于上，为实，中空一层，借一算置于下，乃步之，超一等进至百，再超一等进至万，是为万之面百，议得二百，置二于实上百位，是为议所得，即初商也。空初商法视借哉可步上实数足几数之自乘，即商即，合实数五足二二自乘数四，故实为二，
以乘所借一算，一二如二，置二百于实万下，是为实法，即方法也，以议二百与法二百相乘，二二如四，于实中除去四万，所谓议所得以一乘所借一算为法，而以除也。余实一万五千二百二十五，为次商实，乃倍方法二百为四百，退一等，置千下，所谓除已倍法为定法，其后除折而下也，以所借哉超一等退至百，是为言百之面十，议得三十，置三于实上十位，是为复议，即次商也，（空次商法以方法约实足几倍，即商几命实数十五足方法，四之三倍，故空为三三商以后仿此）。
以乘借算，一三如三，得三十，副置之，以加定法，得四百三十，以议三十与之相乘，三四一十二，三三如九，与实法中除去一万二千九百，所谓所得副以加实法以除也，余实二千三百二十五，为三商实，乃以副置之三十加于实法，得四百六十，退一等，置于百下，以借算超一等退至步，议得五步，置五与实上单位，即三商也，以乘借哉。一五如五，加定法，得四百六十五，以议五与之相乘，四五二九五六三十，五五二十五，共二千三百二十五，以除实，适尽，所谓以所得副从定法复除折下如前也，乃收去方法，及借算，上议二百三十五步，即方也。
注释：用算筹计算55225的平方根的过程，从55225的末位5开始，隔一位做一点，即作三点，得到开方数为3位数，先在方筹内查找和5相近的数，得到4在4和9之间，因为2*2等于4，得到开方数的第一位数是2，在用55225减去40000得到15225，2乘以2等于4，，3乘以4等于12小于15，所以得到开方结果的第二位数是3。430乘以30等于12900，15225减去12900等于2325，430加上30等于460，465乘以5等于2325。所以，得到开方结果435。
可以用下面的公式表示上面的计算过程，
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435
即
2
55225=435
增乘法草曰，置积五万五千二百二十五于上，为实，中方空，置一算于下为偶，偶进二位为步进一次，凡步进二次，偶立万下初商当为百，乃商之，初商二，置于实上百位，以商乘偶，一二如二..，置二于中位为方，以商乘方，二二如四，于实中除去四万，余一万五千二百二十五，为次商实，以商乘偶，一二如二，入二于中位，共得四，退一位，为次商方，偶退二位，为次商偶，又商之，次商三，置于实上十位，以商乘偶，一三如三，入三于方，为四三，以商乘方，三四一十二，于实中除去一万二十，三三如九，于实中除去三商实，以商乘偶，一三如三，入三于中位，得四六，退一位，为三商方，偶退二位，为三商偶，又商之，商五，置于实上单位，以商乘偶一五为五，入五于方，为四六五，以商乘方，四五二十，于实中除二千，五六三十，于实中除三百，五五二十五，于实中除二十五，适尽，收去方偶，上商，得二百三十五步，即方也。
注释：用算筹计算55225的平方根的过程，
2*2=4，55225-40000=15225，3*4=12，15225-12000=3225，4*5=20，3225-2000=1225，5*6=300，1225-300=925，5*5=25，925-25=900，3*3=9，900-900=0。
可以用下面的公式表示上面的计算过程
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435，
即
2
55225=435
孙子算经曰，今有积二十三万四千五百六十七步，问为方几何，答曰，四百八十四步九百六十八分之三百一十一。
此实偶商法后，以方为母，即不加借哉命分法也。
置积二十三万四千五百六十七步于上，为实，中方空，借一算于下，为偶步进二次，商四，以商乘偶得四，置于中位为方，以商乘方得一六，以除实余七万四千五百六十七，为次商，实以商乘偶得四，入方收八，方退一，偶退二，商八以商乘偶得八，入方得八八，以商乘方法得七〇四，以除实余四千一百六十七，为三商实，以商乘偶得八，入方得九六，方止一，偶退二，商四，以商乘偶得四，以商乘方得三八五六，以除实余三百一十一，为分子，以商二得四，入方得九百六十八，为分母收方偶哉，即得四百八十四步九百六十八分步之三百一十一也。
注释：用算筹计算234567的平方根的过程，
4*4=16，234567-160000=74567，80+8=88，88*8=704，74567-70400=4167，3*4*8=96，960+4=964，4167-3856=311，960+4*2=968，400+80+4=484，
可以用下面的公式表示上面的计算过程
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
上式中，a=400,b=30,c=5,a+b+c=435，
即
311 2
324567=(484 ）
968
第一部分用正割对数计算积分的方法
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率
tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，
tga=u(x)，tga=sina/cosa，
导数等于微分，微分积分后变成原函数，即
f`(x)= tga=f(x)
因为，a=arctgf`(x)，
根据泰勒展开
3 5 2n+1
x x n x 2n+2
arc tg x=x- + -...+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
所以,
3 5 2n+1
f` (x) f` (x) n f` (x) 2n+2
a=f`(x)- + -...+(-1) +o(x )
3 5 2n+1
方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著
因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x, a=arctgy`,所以,
sina d(cosa)
f`(x)= tgada= da=- =-lncosa+C
cosa cosa
根据泰勒展开
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
所以,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )]+C
2! 4! 6! (2m)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
所以,
1 2 1 3 3
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 3
1 2 1 3 6
f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 3
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + - +o(a )
2 12 40
方法2,
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,
9. tanudu=logsec u +C
10. cotudu=logsin u +C
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
所以,
sina d(cosa)
f`(x)= tanada= da=- =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa
所以,
cosa d(sina)
f`(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina
因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x,
所以,
f(x)= tgada=logsec a +C
根据泰勒展开
2 3 5 n
x x x n-1 x n
ln(1+x)=x- + - -...+(-1) +o(x )
2 3 4 n
所以,
1 2 1 3 3
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o((sec x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x )
2 2
所以,
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o((sec a-1) )
2 2
1 2 1 3 6
f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a )
2 2
因为,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ,
所以,
2 5 6 2m
a a a m a 2m+1
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )+C
2! 4! 6! (2m)!
因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，,
清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
当45°≥θ>0°时,
2 4 6 8
θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272
lnsecθ= + + +
2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8
10 2n S
θ 2 16 272 7936 θ n
+ +…+
2 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (n+1)(n+2)...*2n
上式中，
S *(2n-2)(2n-1) S *(2n-2)(2n-1)
n-2 n-3
S *2n(2n+1) *2n(2n+1) *2n(2n+1)
n-1 1*2
S = - + …-2
n 1*2 3*4 5*6
例如：
2 S =2
1
2*4*5
-2*2=16 S =16
1*2 2
20
16*6*7 336*8*9
- +2*4=272 S =272
1*2 3*4 3
336 70
16*6*7 336*8*9 70*8*9
- + -2*4=7936 S =7936
1*2 3*4 5*6 4
9792 2016 168
7936*10*11 9792*10*11 2016*10*11 168*10*11
- + - +2*5=353792 S =7936
1*2 3*4 5*6 7*8 5
436480 89760 7392 330
当67.5°≥θ>45°时
lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,
当78.75°>θ≥67.5°时
lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2,
当84.375°>θ≥78.75°时
lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2,
当85.375°>θ≥84.375°时
lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2,
当86.375°>θ≥85.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2,
当87.375°>θ≥86.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2,
当88.375°>θ≥87.375°时,
lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2,
所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8
所以,
f(x)=lnseca+C-lncosa+C=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )]
2! 4! 6! (2m)!
因为, y`=tga, 所以, a=arctgy`,所以,
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y` arctg y` 2 arctg y` 2 16 arctg y` 2 16 272
+ + +
2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8
所以,
f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=
2 4 6 2m
arctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
-ln[1- + - -...+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
上式中
2 3 4 5
(1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4
lnN=[(1-N)+ + + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
n
(1-N) 2 3 4 n-1
+..+ … ]
2 3 4 5 n
上式中，N<1
当N>1时，
m
lgN=m-[(1-N/10 )+
m 2 m 3 m 4 m 5
(1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 (1-N/10 ) 2 3 4
+ + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
m n
(1-N/10 ) 2 3 4 n-1
+..+ … ]
2 3 4 5 n
m
上式中，N/10 <1
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
3 3 3
例2. x 1+x dx,设1+x=t ,有x=t -1
3 3 3 6 3
x 1+x dx= (t -1)t*3t dt=3 (t -t )dt=
7 4 3 7 3 4
=3t /7-3t /4+C=3 (1+x) /7-3 (1+x) /4+C
解法2，根据上面的公式，
3
x 1+x dx
=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y` arctg y` 2 arctg y` 2 16 arctg y` 2 16 272
+ + +
2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8
3 2 3 4 3 6
arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) 2 arc(x 1+x ) 2 16
= + + +
2 2 3*4 2 3*4 5*6
3 2
arc(x 1+x ) 2 16 272
2 3*4 5*6 7*8
解法3，根据上面的公式，
3
x 1+x dx
=-ln cos a+C=
2 4 6 2m
arctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1
-ln[1- + - -...+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
3 2 3 4 3 6 3 2m
arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x )
-ln[1- + - -...+(-1)
2! 4! 6! (2m)!
3 2m+1
+o(arc(x 1+x )) ]+C
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
y` =1/x`
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得
y` dx= dy/x`
x y
y =ln│x │+C
x y
也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,
-1
设y =f(x),反函数为x =f (y)
x y
-1
f(x)=ln│f (y)│+C
因为,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6
= + + +o(a )
2 12 40
上式中tga=y`=f`(x)=y/x,
f(x)=-lncosa+C=
2 4 6
a a a 6 -1
= + + +o(a ) =ln│f (y)│+C
2 12 40
2 4 6
a a a
[ + + ]
-1 2 12 40
f (y)=e
同理可证
2 4 6
b b b
[ + + ]
-1 2 12 45
f (x)=e
上式中
-1
tgb=f` (y)=x/y
第二部分通过导数斜率计算积分的方法
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x，
函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa，
根据泰勒展开
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
sina=a- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)
3! 5! 7! (2m)!
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
cosa=1- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)
2! 4! 6! (2m)!
3 5 7 2m-1
a a a m-1 a 2m
arc tg a=a- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)
3 5 7 2m-1
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
3
a 4
tg a=a+ +o(a )
3
3
a 4
u(x)=a+ +o(a )
3
或者，
推导过程可参见三角函数计算页
u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或者，
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，
2 2
4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2
α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2
α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或者，
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册，
推导过程参见惠更斯公式页，
2 2
8+6α ±2 4-2(-3α +16)
tgα=sinα/cosα=
2
2± 4-2(-3α +16)
或者，
推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，
收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页，
4 3 2
tgα≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/2*1.01537228απ
或者
3 5 7
α α α
tgα=α+ + +
3 60 630
或者
tga=sina/cosa=
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
设u(x)=t,得
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
或者,
3 5 7 2m
a a a m-1 a 2m
a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
解上面的方程，得到t关于a的函数a=φ[t],
a=φ[u(x)], a=φ[t],
3
a +3a-3t=0
根据一元三次立方根的卡尔丹公式,
3
方程x +px+q=0的解有三个分别是
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
根据上面的卡但公式，得
3
方程a +3a-3t=0的解有三个分别是, 其中p=3,q=-3t,
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
因为函数y=f(x)的导数是斜率tga，即
tga=y/x,
因为, a=φ(t), u(x)=t,
所以, a=φ[u(x)],
tga=tg{φ[u(x)]}=y/x,
y=x*tga=x*tg{φ[u(x)]}=x*tg[φ(t)]
y=x*tga=
3 3
2 3 2 3
3t q p 3t q p
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或,
y=x*tga=
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=x*tga=
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + }
2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，
导数计算公式：
因为，
tga=tgφ[u(x)]=y/x，
arctg(y/x)=φ[u(x)]=a，
因为u(x)=t,
3
a 4
u(x)=t=a+ +o(a )
3
或，u(x)=tgα=2√2kα/π，
上式中，k=1.3，
或，
3 2
k=0.33α +0.5α +α+1
或
推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，
详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，
推导过程参见三角函数的求法缀术页，
2 2
4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
2 2
α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，
2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )
2 2
α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或，
3 5 7 2m-1
a a a m-1 a 2m
a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=t=
2 4 6 2m
a a a m a 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
因为, tga=y`=f`(x)=u(x)
3
arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+
3
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y`=u(x)=t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
这样就得到由原函数y构成的导数y`,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`,所以,
3
a 4
a+ +o(a )=
3
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3
a 4
a+ +o(a )=t,
3
3
a
a+ -t=0,
3
3
a +3a-3t=0,
解这个一元三次方程式得,
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
因为, tga=y`=f`(x), 所以,
tga=y`=f`(x)=
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ + + + - +
2 4 27 2 4 27
tga=y`=f`(x)=
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27
tga=y`=f`(x)=
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
这样就得到由原函数y构成的导数y`，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`，
例如：
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，
例1.
√x
e
dx
√x
2
设x=t ,则有
√x t
e e t t √x
dx= 2tdt=2 e dt=2e +C=2e +C
√x t
解法2，用上面的公式求解
y=x*tga=
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - + }
2 4 27 2 4 27
上式中
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3
因为, y`=tga, a=arctgy`,
所以,
3 √x x√x
arctg y` e e
t=arctgy`+ = +
3 √x 3x√x
y=x*tga=
3
√x x√x
e e 2
√x x√x 9( + )
3e e √x 3x√x 27
x*tg{ + + +
2√x 2x√x 4 27
3
√x x√x
e e 2
√x x√x 9( + )
3e e √x 3x√x 27
+ + - +
2√x 2x√x 4 27
所以,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y`=u(x)=t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x
√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
arctg (2e /x)- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!
=
2 √x 4 √x 6 √x 2m √x
arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
1- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
所以,
tga=y`=f`(x)=
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
tg[ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中,
3 5 7 2m-1
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m
arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t=
3 4 6 2m
arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1
1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x
√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
arctg (2e /x)- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!
=
2 √x 4 √x 6 √x 2m √x
arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)
1- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
或者
3
arctg (y/x)
t=arctg(y/x)+
3
3 √x
√x arctg (2e /x)
t=arctg(2e /x)+
3
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，
41.三次与四次方程，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,
2
f(u)=u -x0u-p/3,
它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,
α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5)
以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：
3
(α+β) +p(α+β)+q=0,
或,
3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,
但由(5)得3αβ+p，故有,
3 3
α +β =-q (6)
另一方面，由(5)推得,
3 3 3
α β =-p /27 (7)
3 3
等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,
3
2 p
z +qz- =0 (8)
27
的根,
解方程(8)，我们得到：
2 3
q q p
z =- ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.
即,
3
2 3
q q p
β= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± + (9)
2 4 27
或,
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：
3 3
2 3 2 3
q q p q q p
x0=α+β= + + + - + +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
下面内容为插叙
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
7.复数的方根,
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，
y` =1/x`
x y
也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数,
x` =1/y`
y x
因为,
3
arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+
3
所以,
1
x` =1/y` =
y x 3
arctg (y/x)
arctg(y/x)+
3
推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版,
因为,
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n 2n+2
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
1*2 1*2...n
2
所以,当x =-x ,m=-1/2时，有
1 1 2 1*3 4 1*3*….(2n-1) 2n 2n+2
=1+ x + x +…+ x +o(x )
2 2 2*4 2*4*…2n
1-x
两边积分得
3 5 2n+1
1 x 1*3 x 1*3*….(2n-1) x 2n+2
arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 2*4 5 2*4*…2n 2n+1
在区间(-π/2,+π/2),
3 5 7 2n+1
x x x n x 2n+2
arc tg x=x- + - -...+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
当x=1时，由上式可得,
π 1 1 1 n 1
=1 - + - -...+(-1) +…
4 3 5 7 2n+1
1 2 3 n
x x x x x n+1
e =1 + + + +...+ +o(x )
1 1*2 1*2*3 n!
loga x xloga
因为a=e , a =e
所以,
2 2 n n
x xloga x (loga) x (loga) n+1
a =1 + + +...+ +o(x )
1 2! n!
2 3 5 2n+1
1-x π x x n-1 x 2n+2
arctan = -x+ - +...+ (-1) +o(x )
1+x 4 3 5 2n+1
在区间(-π/2,+π/2)
1
1-x 1 1 1`
dx=1+ + +...+ 其中m为正整数│x│<1
0 1+x 2 3 m
2 4 6
sinx x x x
log =(- + - +…)
x 3! 5! 7!
2 4 6
1 x x x 2
- (- + - +…)
2 3! 5! 7!
2 4 6
1 x x x 3
+ (- + - +…)
3 3! 5! 7!
2 4 6
n+1 1 x x x n
-...+(-1) (- + - +…)
n 3! 5! 7!
n+1 2n+2 (n+1) x+θx 2
1 2 n 2n (n) (-1) x f [ ]
x x (-1) x f (x) 1+n
( )dx=f(x)- f``(x)+...+ +
0 1+x 1+x n n+1
(1+x) (1+x) (n+1)!
求
1
log(1+x)
0 1+x
推导过程可参见1934年商务印书馆出版《大学丛书高等算学分析》，熊庆来著
推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著
3 5 2n+1
1 x 1*3 x 1*3*….(2n-1) x 2n+2
arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 2*4 5 2*4*…2n 2n+1
3 5 7 2n+1
x x x n x 2n+2
arc tg x=x- + - -...+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
1 2 2
=1-x+x +o(x ）
1+x
1 3 2 n+1 1*3*….(2n-1) n 2n+2
1+x =1+ x - x +…+(-1) x +o(x )
2 8 2*4*…*2n
1 1 3 2 n 1*3*….(2n-1) n 2n+2
=1- x + x +…+(-1) x +o(x )
2 8 2*4*…*2n
1+x
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.
m 0
取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .
0
如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成
m
为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.
(k) m-k
f (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)
(k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)...(m-k+1)
展开式的形式就是
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
1*2 1*2...n
特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有
1 2 2
=1-x+x +o(x )
1+x
1 1 2 2
1+x=1+ x- x +o(x )
2 8
1 1 3 2 2
=1+ x- x +o(x )
1+x 2 8
3
x
在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
1+x
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -......+ (-1) +o(x )
2 3 n
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -......+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 *3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (2*1-1)!! 0 2 2-1 (2*2-1)!! 3 (2*n-1)!! n n
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2
(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -......+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 ...(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
arc cos x=1- + - -......+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f``(x)= , f``(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
例如
tg π/4=1
3
0.785339
tg 0.785339=0.785339+ =1.0928
3
例如
tg π/4=1
3 5 7
2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339
tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。
7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f``(x)=- , f``(x)=-2* , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x
Ⅳ
故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,
根据戴劳公式(120a)
3
x 4
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
例如
ctg π/4=1
3
0.785339 3
ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027
3
例如
ctg π/4=1
3 5 7
2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339
ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
sin x 3
8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )
2 6
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )
2 6
3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。
但依2)
1 3 4
sin x=x- x + o(x )
6
于是
sin x 1 3 1 2 1 3 3
e =1+(x- x )+ x + x + o(x )
6 2 6
3
含x 的项互相消去，故最后得
sin x 1 2 3
e =1+x+ x + o(x )
2
类似地
tg x 1 2 1 3 3
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，
3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x )
在这时，由于3),
1 2 1 4 1 6 7
cos x-1=- x + x - x + o(x )
2 24 720
由此
1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6
ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )
2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后
1 2 1 4 1 6 6
ln cos x-1=- x - x - x + o(x )
2 12 45
类似地
2 1 3 3 5 5
ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )
6 40
而
sin x 1 2 1 4 1 6 6
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册
125.例题
若x =0，戴劳公式看来是最简单的：
0
注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。
(n)
f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )
0 0 2 0 3 0 n n
f(x)=f(x )+ x+ x + x +…+ (x-x ) +o(x ) (11)
0 1! 2! 3! n!
在取x-x 作为新的自变量之后，一般的戴劳公式总归可以化为这个特别情形的。
0
兹以例题的形式来考察某些初等函数依这公式的具体展开式。
1)设
x
f(x)=e ;
(k) x
则f (x)=e (k=1,2,3,...)
(k)
因为在这时f(0)=1,f （0）=1，故依公式（11）
0 0 2 0 (n)
x 0 e x e x e x n
e =e + + +…+ + o(x )
1! 2! n!
2 (n)
x x x x n
e =1+ + +…+ + o(x )
1! 2! n!
2)若f(x)=sin x，则
(k) π
f (x)=sin(x+k* )
2
(2m) (2m-1) π m-1
,于是f(0)=0,f (0)=sin mπ=0, f (0)=sin (mπ- )=(-1) (m=1,2,3...)
2
因此，在公式（11）内令n=2m，就有
2*1-1 2*2-1 2*3-1 2m-1
1-1 x 2-1 x 3-1 x m-1 x 2m
sin x= (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(2*1-1)! (2*2-1)! (2*3-1)! (2m-1)!
3 2 2m-1
x x m-1 x 2m
sin x =x- + -…+ (-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
3)类似的，在f(x)=cos x时：
(k) π
f (x)=cos(x+k* )
2
(2m) m (2m-1)
, f(0)=1,f (0)=（-1） , f (0)=0 (m=1,2,3...)
这样（若取n=2m+1),
2*1-1 2*2 2*3 2m
1 x 2 x 3 x m x 2m+1
cosx=1+ (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(2*1)! (2*2)! (2*3)! (2m)!
2 4 2m
x x m x 2m+1
cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)
2! 4! (2m)!
m
4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.
m 0
取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .
0
如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成
m
为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.
(k) m-k
f (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)
(k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)...(m-k+1)
展开式的形式就是
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
1*2 1*2...n
特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有
1 2 2
=1-x+x +o(x )
1+x
1 1 2 2
1+x=1+ x- x +o(x )
2 8
1 1 3 2 2
=1+ x- x +o(x )
1+x 2 8
3
x
在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即
1+x
至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出
5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.
f(x)=ln(1+x)
并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)
k-1
(k) (-1) (k-1)!
f (x)=
k
(1+x)
(k) k-1
f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!
注;记号0！我们永远理解为1
由此
2 3 n
x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -......+ (-1) +o(x )
2 3 n
6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n
arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1
f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）
根据戴劳公式（11），可得
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n
arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -......+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2
f (0)=0, f (0)=(-1) 1 *3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (2*1-1)!! 0 2 2-1 (2*2-1)!! 3 (2*n-1)!! n n
arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2
(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n
arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!
于是它的展开式可表示为
3 5 2m-1
2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -......+（-1） +o(x )
3!! 5!! (2m-1)!!
注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6
6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：
(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2
f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 ...(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]
于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n
arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n
arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!
2 2
0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n
arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!
于是它的展开式可表示为
2 3 5 2m
x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x
arc cos x=1- + - -......+（-1） +o(x )
2!! 4!! 6!! (2m)!!
注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6
7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f``(x)= , f``(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x
Ⅳ
故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a）
3
x 4
tg x=x+ +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)
3 5 7 2m-1
例如
tg π/4=1
3
0.785339
tg 0.785339=0.785339+ =1.0928
3
例如
tg π/4=1
3 5 7
2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339
tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。
7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为
2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f``(x)=- , f``(x)=-2* , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x
Ⅳ
故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,
根据戴劳公式(120a)
3
x 4
ctg x=x- +o(x )或
3
3 5 7 2m-1
2x 4x 6x m-1 (2m) x n
ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)
3 5 7 2m-1
例如
ctg π/4=1
3
0.785339 3
ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027
3
例如
ctg π/4=1
3 5 7
2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339
ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928
3 5 7
sin x 3
8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )
2 6
sinx 1 2 1 3 3
e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )
2 6
3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。
但依2)
1 3 4
sin x=x- x + o(x )
6
于是
sin x 1 3 1 2 1 3 3
e =1+(x- x )+ x + x + o(x )
6 2 6
3
含x 的项互相消去，故最后得
sin x 1 2 3
e =1+x+ x + o(x )
2
类似地
tg x 1 2 1 3 3
e =1+x+ x + x + o(x )
2 2
6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)
1 2 1 3 3
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )
2 2
1 2 1 3 6
ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )
2 2
2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，
3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x )
在这时，由于3),
1 2 1 4 1 6 7
cos x-1=- x + x - x + o(x )
2 24 720
由此
1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6
ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )
2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后
1 2 1 4 1 6 6
ln cos x-1=- x - x - x + o(x )
2 12 45
类似地
2 1 3 3 5 5
ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )
6 40
而
sin x 1 2 1 4 1 6 6
ln =- x - x - x + o(x )
x 6 180 2835
一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。
附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
3-21.反三角函数的导数
2
1.设y=arcsinx,则y`=1/ 1-x
2
(arcsinx)`=1/ 1-x 3.30
证明：函数y=arcsinx是多值函数， 但如果我们只限于在-π/2到π/2之间取其值，即
-π/2 ≤arcsinx≤ π/2
则在此条件下，y=arcsinx将变为单值函数了。且这种函数叫做arcsinx的主值，并写作y=arcsinx, 其几何意义则为在函数y=arcsinx的图形上（图3-21）只限于取点M1与M2间的一部分曲线。因为函数y=arcsinx与x=siny互为反函数，所以有y` =1/x`
x y
故 y` =1/cosy
x
但,
2 2
cosy= 1-sin y = 1-x
于是得
2
y` =1/ 1-x
或者
2
d(arc sinx)=1/ 1-x
这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式：
-π/2 ≤y≤ π/2
而这就是说，cosy是正的量
例1.设y=xarcsinx,试求y`
我们有
2
y`=arcsinx+x/ 1-x
例2.设y=arcsin√x,试求y`
设把√x看作u，则有
1 1 1
y`= (√x)`= =
2 2
1-(√x) 2 1-x√x 2 x-x
2.设y=arccos,则
-1
y`=
2
1-x
即
-1
(arccosx)`= 3.31
2
1-x
证明，函数y=arccosx为多值函数。如果我们只限于取arccosx在0与π之间的值，即
0≤arccosx≤π
则在此条件下，我们便获得单值函数，
而这个单值函数就叫做函数y=arccosx的主值，并记为
y=arccosx (图3-22)
在几何上来看，就是我们只限于取点M1与M2之间的一部分曲线，
因为函数y=arccosx与x=cosy互为反函数，所以
y` =1/x
x y
然而又因为
x` =-siny
y
故y` =-1/siny`
x
但
2 2
siny= 1-cos y = 1-x
于是，得
-1
y` =
x 2
1-x
或者
于是，得
d -1
(arccosx)=
dx 2
1-x
这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π，
而这就是说,siny是正的能量。
3.设y=arctgx,则
2
y`=(arctgx)`=1/(1+x )
证明.函数y=arctgx是多值函数，为了使它变为单值函数，
我们只限于取arctgx在-π/2到π/2之间的值，即-π/2≤arctgx≤π/2
在此条件下，我们便获取单值函数，而这个函数就叫做arctgx的主值，并且记为
y=arctgx (图3-23)
在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。
因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数， 所以
y` =1/x`
x y
2
然而又因为x` =1/cos y
y
故
2
y` =cos y
x
但
2 2
cos y=1/(1+tg y)=1/(1+x )
于是，得
2
y`=1/(1+x )
或者
2
d(arc tgx)/dx=1/(1+x )
这就是所要证明的
例1.设y=arctg(3x+x)，试求y`
2 2
y`=3/[1+(3x+2) ]=3/9x +12x+5
例2.设y=ln(arctgx)，试求y`
设把arctgx看作u，则得
2
y`=(arctgx)`/arctgx=1/(1+x )arctgx
例3.设f(x)=arctg4x，试求f`(0)
我们有
2
f`(x)=4/(1+16x )
于是,
f`(0)=4/(1+16*0)=4
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