广州六校联考2024-19
[题意]
已知集合\(A\)中含有\(3\)个元素\(x,y,z\)，同时满足：
- \(x<y<z\)
- \(x+y>z\)
- \(x+y+z\)为偶数
那么称集合\(A\)具有性质\(P\)。
已知集合\(S_n=\{1,2,...,2n\}(n\in N^, n\geq4)\)。
对于集合\(S_n\)的非空子集\(B\)，若\(S_n\)中存在三个互不相同的元素\(a,b,c\)，使得\(a+b,b+c,c+a\)均属于\(B\)，则称集合\(B\)是集合\(S_n\)的“期待子集”。
1）试判断集合\(A=\{1,2,3,5,7,9\}\)是否具有性质\(P\)，并说明理由。
2）若集合\(B=\{3,4,a\}\)具有性质\(P\)，证明：集合\(B\)是集合\(S_4\)的“期待子集”。
3）证明：集合\(M\)具有性质\(P\)的充要条件是集合\(M\)是集合\(S_n\)的“期待子集”。
[题解]
1）
显然没有。因为一个全是奇数的集合怎么找出三个数的和为偶数？
2）
枚举可知，\(z\)的取值仅有\(\{5\}\)，因此集合\(B=\{3,4,5\}\)。
设\(a=1,b=2,c=3\)，显然\(a,b,c\)都属于集合\(S_4\)，并且\(a+b,b+c,c+a\)都属于集合\(B\)。
证明完毕。
3）
先证明必要性，即只有集合\(M\)是\(S_n\)的期待子集，它才有可能具有性质\(P\)。
不妨设集合\(M\)含有\(x,y,z\in N^+, x < y < z\)。由于没有给出\(n\)的范围，因此\(x,y,z\)一定都属于某个\(S_n\)。
设集合\(M\)恰好因为\(x,y,z\)的存在而具有性质\(P\)，即：
\(x+y>z, (x+y+z)\%2=0\)
证明\(M\)是\(S_n\)的期待子集，是具有性质\(P\)的必要条件，等价于证明：
\(a+b=x,a+c=y,b+c=z\)。
把\(x,y,z\)看作常量，\(a,b,c\)看作未知数，问题等价于证明上面这个三元一次方程组一定具有正整数解。
结论1：\(x+y-z,x-y+z,-x+y+z\)均大于0，且是偶数
结论1的证明
三个柿子分别等于\(x+y+z\)减去\(2x,2y,2z\)。已知\(x+y+z-2z=x+y-z\)都大于\(0\)，那么另外两个肯定也大鱼\(0\)。
已知\(x+y+z\)是偶数，三个柿子对\(x+y+z\)分别减去的也是偶数，因此三个柿子的值是偶数。
因此可以构造：
下面证明\(a<b<c\)，且都是正整数。
由结论1得\(a\)是正整数，故\(b\)和\(c\)也是整数。
由\(x<y\)，推出\(b<c\)。
由结论1，推出：
因此\(a<b\)。
因此我们构造出了\(a,b,c\)，不管\(x,y,z\)如何变化，\(a,b,c\)都满足\(a<b<c, a,b,c\in N^+\)。
必要性证明完毕。
然后证明充分性，即只有集合\(M\)具有性质\(P\)，它才有可能是集合\(S_n\)的期待子集。
设有一组\(a<b<c\)，满足\(a+b,a+c,b+c\in M\)。
设\(x=a+b,y=a+c,z=b+c\)。
由\(a<b<c\)，推出\(x<y<z\)。
由\(x+y=2a+b+c, a > 0\)，推出\(x+y>z\)。
由\(x+y+z=2(a+b+c)\)，推出\(x+y+z\)为偶数。
至此我们证明了任意一组\(a,b,c\)，都能构造出\(x,y,z\)具有性质\(P\)。
充分性证明完毕。
显然\(a<b<c\)就可以推出\(x<y<z\)。
\(x+y>z\)的条件等价于\(a+b+a+c>b+c\)，化简即\(2a>0\)，进一步化简即\(a>0\)。
\(x+y+z\)
