2023浙江新高考一卷第22题题解
[题意]
在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,12)的距离,记动点P的轨迹为W。
1)求W的方程。
2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3√3
[题解]
1)
根据题意列出方程即可。
等式两边同时平方:
化简有:
2)
设A,B,C为抛物线上的三个点,并且有:
xA<xB<xC,AB⊥BC。
问题等价于,求证:
为简化计算,我们将整个抛物线向下平移14,显然不影响答案。
设xB=x0,直线AB的斜率为k,直线BC的斜率为−1k
尝试将A的坐标用x0和k表示。
先写出抛物线的方程和AB的方程。AB的方程设立有技巧,要充分运用AB过(x0,x20+14)这个条件。
联立上述式子:
化简有:
此时不要暴力求根。想到x0已经是这个方程的一个根,考虑提取(x−x0),作因式分解。先整理一下顺序:
得到另一个根是k−x0。
因此点A为(k−x0,(k−x0)2)。
把k替换为−1k,点C为(−1k−x0,(−1k−x0)2)
那么:
设k不变,考虑只变x0能取到的min(|AB|+|AC|)
等价于让下面这个柿子的值最小。我们记这个柿子为原式。
看到绝对值首先想到它的几何意义,设在数轴上点2x0到k的距离为d1,和到−1k的距离为d2,等价于让d1+1kd2的值最小。
k,−1k必有一个大于0,一个小于0。不妨设k>0。
显然2x0在区间[−1k,k]内比在区间外更优。
因此原式可以简化为:
这是一个单调的函数。下面根据k的值分类讨论。
情况1
如果0<k<1,1k−1>0,2x0取到区间左端点k最优,原式化简为:
令k2=t,有:
这个柿子很麻烦,考虑先求(|AB|+|AC|)2的最小值:
再次换元,令m=t2,有:
情况2
如果k=1,原式的值恒定为2,有:
情况3
如果k>1,1k−1<0,2x0取到区间右端点k最优,后续变化同情况1。只是m的取值范围扩展到>1。
因此我们可以合并三种情况,问题等价于:
我们想要尽可能放低下界,也就是让不等号的右侧尽可能小,来获取|AB|+|AC|的最小值。
令:
则:
显然2是g′(x)的零点,并且当x∈[0,2)时,g′(x)<0,x∈(2,+∞)时,g′(x)>0。
因此当x=2时,g(x)取到最小值为274。
[来源]
新高考一卷2023
【推荐】国内首个AI IDE,深度理解中文开发场景,立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 被坑几百块钱后,我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录!
· 没有Manus邀请码?试试免邀请码的MGX或者开源的OpenManus吧
· 【自荐】一款简洁、开源的在线白板工具 Drawnix
· 园子的第一款AI主题卫衣上架——"HELLO! HOW CAN I ASSIST YOU TODAY
· Docker 太简单,K8s 太复杂?w7panel 让容器管理更轻松!