Processing math: 100%

2023浙江新高考一卷第22题题解

[题意]

在直角坐标系xOy中,点Px轴的距离等于点P到点(0,12)的距离,记动点P的轨迹为W

1)求W的方程。

2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于33

[题解]

1)

根据题意列出方程即可。

y=x2+(y12)2

等式两边同时平方:

y2=x2+y2y+14

化简有:

y=x2+14

2)

A,B,C为抛物线上的三个点,并且有:

xA<xB<xC,ABBC

问题等价于,求证:

min(AB+BC)>332

为简化计算,我们将整个抛物线向下平移14,显然不影响答案。

xB=x0,直线AB的斜率为k,直线BC的斜率为1k

尝试将A的坐标用x0k表示。

先写出抛物线的方程和AB的方程。AB的方程设立有技巧,要充分运用AB(x0,x20+14)这个条件。

y=x2y=k(xx0)+x20

联立上述式子:

x2=k(xx0)+x20

化简有:

x2kx+kx0x20=0

此时不要暴力求根。想到x0已经是这个方程的一个根,考虑提取(xx0),作因式分解。先整理一下顺序:

x2x20k(xx0)=0(xx0)(x+x0)k(xx0)=0(xx0)(x+x0k)=0

得到另一个根是kx0

因此点A(kx0,(kx0)2)

k替换为1k,点C(1kx0,(1kx0)2)

那么:

|AB|=k2+1×|xBxA|=k2+1×|k2x0||AC|=1k2+1×|1k+2x0||AB|+|AC|=k2+1×(|k2x0|+1k|2x0+1k|)

k不变,考虑只变x0能取到的min(|AB|+|AC|)

等价于让下面这个柿子的值最小。我们记这个柿子为原式

|k2x0|+1k|2x0+1k|

看到绝对值首先想到它的几何意义,设在数轴上点2x0k的距离为d1,和到1k的距离为d2,等价于让d1+1kd2的值最小。

k,1k必有一个大于0,一个小于0。不妨设k>0

显然2x0在区间[1k,k]内比在区间外更优。

因此原式可以简化为:

(2x0+1k)1k+k2x0=2x0(1k1)+1k2+k

这是一个单调的函数。下面根据k的值分类讨论。

情况1

如果0<k<11k1>02x0取到区间左端点k最优,原式化简为:

k(1k1)+1k2+k=1k2+1|AB|+|AC|k2+1(1k2+1)=(k2+1)32k2,0<k<1

k2=t,有:

|AB|+|AC|(t2+1)32t,0<t<1

这个柿子很麻烦,考虑先求(|AB|+|AC|)2的最小值:

(|AB|+|AC|)2(t2+1)3t4,0<t<1

再次换元,令m=t2,有:

(|AB|+|AC|)2(m+1)3m2,0<m<1

情况2

如果k=1,原式的值恒定为2,有:

|AB|+|AC|=22

情况3

如果k>11k1<02x0取到区间右端点k最优,后续变化同情况1。只是m的取值范围扩展到>1

因此我们可以合并三种情况,问题等价于:

(|AB|+|AC|)2(m+1)3m2,m>0

我们想要尽可能放低下界,也就是让不等号的右侧尽可能小,来获取|AB|+|AC|的最小值。

令:

g(x)=(x+1)3x2,x>0

则:

g(x)=3(x+1)2×x2(x+1)3×2xx4=3(x+1)2×x(x+1)3×2x3=(x+1)2×(3x2x2)x3=(x+1)2×(x2)x3

显然2g(x)的零点,并且当x[0,2)时,g(x)<0x(2,+)时,g(x)>0

因此当x=2时,g(x)取到最小值为274

(|AB|+|AC|)2=274|AB|+|AC|=332

[来源]

新高考一卷2023

posted @   zlc0405  阅读(48)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 被坑几百块钱后,我竟然真的恢复了删除的微信聊天记录!
· 没有Manus邀请码?试试免邀请码的MGX或者开源的OpenManus吧
· 【自荐】一款简洁、开源的在线白板工具 Drawnix
· 园子的第一款AI主题卫衣上架——"HELLO! HOW CAN I ASSIST YOU TODAY
· Docker 太简单,K8s 太复杂?w7panel 让容器管理更轻松!
点击右上角即可分享
微信分享提示