2023浙江新高考一卷第22题题解

[题意]

在直角坐标系\(xOy\)中，点\(P\)到\(x\)轴的距离等于点\(P\)到点\((0,\frac{1}{2})\)的距离，记动点\(P\)的轨迹为\(W\)。

1）求\(W\)的方程。

2）已知矩形\(ABCD\)有三个顶点在\(W\)上，证明：矩形\(ABCD\)的周长大于\(3\sqrt{3}\)

[题解]

1）

根据题意列出方程即可。

\[y=\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2})^2} \]

等式两边同时平方：

\[y^2=x^2+y^2-y+\frac{1}{4} \]

化简有：

\[y=x^2+\frac{1}{4} \]

2）

设\(A,B,C\)为抛物线上的三个点，并且有：

\(x_A<x_B<x_C, AB\perp BC\)。

问题等价于，求证：

\[min(AB+BC)>\frac{3\sqrt{3}}{2} \]

为简化计算，我们将整个抛物线向下平移\(\frac{1}{4}\)，显然不影响答案。

设\(x_B=x_0\)，直线\(AB\)的斜率为\(k\)，直线\(BC\)的斜率为\(-\frac{1}{k}\)

尝试将\(A\)的坐标用\(x_0\)和\(k\)表示。

先写出抛物线的方程和\(AB\)的方程。\(AB\)的方程设立有技巧，要充分运用\(AB\)过\((x_0, x_0^2+\frac{1}{4})\)这个条件。

\[y=x^2\\ y=k(x-x_0)+x_0^2 \]

联立上述式子：

\[x^2= k(x-x_0)+x_0^2 \]

化简有：

\[x^2-kx+kx_0-x_0^2=0 \]

此时不要暴力求根。想到\(x_0\)已经是这个方程的一个根，考虑提取\((x-x_0)\)，作因式分解。先整理一下顺序：

\[x^2-x_0^2-k(x-x_0)=0\\ (x-x_0)(x+x_0)-k(x-x_0)=0\\ (x-x_0)(x+x_0-k)=0 \]

得到另一个根是\(k-x_0\)。

因此点\(A\)为\((k-x_0, (k-x_0)^2)\)。

把\(k\)替换为\(-\frac{1}{k}\)，点\(C\)为\((-\frac{1}{k}-x_0, (-\frac{1}{k}-x_0)^2)\)

那么：

\[|AB|=\sqrt{k^2+1}\times |x_B-x_A|\\ =\sqrt{k^2+1}\times|k-2x_0|\\ |AC|=\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}\times|\frac{1}{k}+2x_0|\\ |AB|+|AC|=\sqrt{k^2+1}\times(|k-2x_0|+\frac{1}{k}|2x_0+\frac{1}{k}|) \]

设\(k\)不变，考虑只变\(x_0\)能取到的\(min(|AB|+|AC|)\)

等价于让下面这个柿子的值最小。我们记这个柿子为原式。

\[|k-2x_0|+\frac{1}{k}|2x_0+\frac{1}{k}| \]

看到绝对值首先想到它的几何意义，设在数轴上点\(2x_0\)到\(k\)的距离为\(d_1\)，和到\(-\frac{1}{k}\)的距离为\(d_2\)，等价于让\(d_1+\frac{1}{k}d_2\)的值最小。

\(k,-\frac{1}{k}\)必有一个大于\(0\)，一个小于\(0\)。不妨设\(k>0\)。

显然\(2x_0\)在区间\([-\frac{1}{k},k]\)内比在区间外更优。

因此原式可以简化为：

\[(2x_0+\frac{1}{k})\frac{1}{k}+k-2x_0 \\=2x_0(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{k^2}+k \]

这是一个单调的函数。下面根据\(k\)的值分类讨论。

情况1

如果\(0<k<1\)，\(\frac{1}{k}-1>0\)，\(2x_0\)取到区间左端点\(k\)最优，原式化简为：

\[k(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{k^2}+k=\frac{1}{k^2}+1\\ |AB|+|AC|\geq\sqrt{k^2+1}(\frac{1}{k^2}+1)=\frac{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}}{k^2},\\0<k<1 \]

令\(k^2=t\)，有：

\[|AB|+|AC|\geq\frac{(t^2+1)^\frac{3}{2}}{t}, 0<t<1 \]

这个柿子很麻烦，考虑先求\((|AB|+|AC|)^2\)的最小值：

\[(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(t^2+1)^3}{t^4}, 0<t<1 \]

再次换元，令\(m=t^2\)，有：

\[(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(m+1)^3}{m^2}, 0<m<1 \]

情况2

如果\(k=1\)，原式的值恒定为2，有：

\[|AB|+|AC|=2\sqrt{2} \]

情况3

如果\(k>1\)，\(\frac{1}{k}-1<0\)，\(2x_0\)取到区间右端点\(k\)最优，后续变化同情况1。只是\(m\)的取值范围扩展到\(>1\)。

因此我们可以合并三种情况，问题等价于：

\[(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(m+1)^3}{m^2},m>0 \]

我们想要尽可能放低下界，也就是让不等号的右侧尽可能小，来获取\(|AB|+|AC|\)的最小值。

令：

\[g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2},x>0 \]

则：

\[g'(x)=\frac{3(x+1)^2\times x^2-(x+1)^3\times2x}{x^4}\\ =\frac{3(x+1)^2\times x-(x+1)^3\times2}{x^3}\\ =\frac{(x+1)^2\times(3x-2x-2)}{x^3}\\ =\frac{(x+1)^2\times(x-2)}{x^3} \]

显然\(2\)是\(g'(x)\)的零点，并且当\(x\in[0,2)\)时，\(g'(x)<0\)，\(x\in(2,+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)。

因此当\(x=2\)时，\(g(x)\)取到最小值为\(\frac{27}{4}\)。

\[(|AB|+|AC|)^2=\frac{27}{4}\\ |AB|+|AC|=\frac{3\sqrt{3}}{2} \]

[来源]

新高考一卷2023