2023浙江新高考一卷第22题题解

[题意]

在直角坐标系$xOy$中，点$P$到$x$轴的距离等于点$P$到点$(0,\frac{1}{2})$的距离，记动点$P$的轨迹为$W$。

1）求$W$的方程。

2）已知矩形$ABCD$有三个顶点在$W$上，证明：矩形$ABCD$的周长大于$3\sqrt{3}$

[题解]

1）

根据题意列出方程即可。

$$y=\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2})^2}$$

等式两边同时平方：

$$y^2=x^2+y^2-y+\frac{1}{4}$$

化简有：

$$y=x^2+\frac{1}{4}$$

2）

设$A,B,C$为抛物线上的三个点，并且有：

$x_A<x_B<x_C, AB\perp BC$。

问题等价于，求证：

$$min(AB+BC)>\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

为简化计算，我们将整个抛物线向下平移$\frac{1}{4}$，显然不影响答案。

设$x_B=x_0$，直线$AB$的斜率为$k$，直线$BC$的斜率为$-\frac{1}{k}$

尝试将$A$的坐标用$x_0$和$k$表示。

先写出抛物线的方程和$AB$的方程。$AB$的方程设立有技巧，要充分运用$AB$过$(x_0, x_0^2+\frac{1}{4})$这个条件。

$$y=x^2\\ y=k(x-x_0)+x_0^2$$

联立上述式子：

$$x^2= k(x-x_0)+x_0^2$$

化简有：

$$x^2-kx+kx_0-x_0^2=0$$

此时不要暴力求根。想到$x_0$已经是这个方程的一个根，考虑提取$(x-x_0)$，作因式分解。先整理一下顺序：

$$x^2-x_0^2-k(x-x_0)=0\\ (x-x_0)(x+x_0)-k(x-x_0)=0\\ (x-x_0)(x+x_0-k)=0$$

得到另一个根是$k-x_0$。

因此点$A$为$(k-x_0, (k-x_0)^2)$。

把$k$替换为$-\frac{1}{k}$，点$C$为$(-\frac{1}{k}-x_0, (-\frac{1}{k}-x_0)^2)$

那么：

$$|AB|=\sqrt{k^2+1}\times |x_B-x_A|\\ =\sqrt{k^2+1}\times|k-2x_0|\\ |AC|=\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}\times|\frac{1}{k}+2x_0|\\ |AB|+|AC|=\sqrt{k^2+1}\times(|k-2x_0|+\frac{1}{k}|2x_0+\frac{1}{k}|)$$

设$k$不变，考虑只变$x_0$能取到的$min(|AB|+|AC|)$

等价于让下面这个柿子的值最小。我们记这个柿子为原式。

$$|k-2x_0|+\frac{1}{k}|2x_0+\frac{1}{k}|$$

看到绝对值首先想到它的几何意义，设在数轴上点$2x_0$到$k$的距离为$d_1$，和到$-\frac{1}{k}$的距离为$d_2$，等价于让$d_1+\frac{1}{k}d_2$的值最小。

$k,-\frac{1}{k}$必有一个大于$0$，一个小于$0$。不妨设$k>0$。

显然$2x_0$在区间$[-\frac{1}{k},k]$内比在区间外更优。

因此原式可以简化为：

$$(2x_0+\frac{1}{k})\frac{1}{k}+k-2x_0 \\=2x_0(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{k^2}+k$$

这是一个单调的函数。下面根据$k$的值分类讨论。

情况1

如果$0<k<1$，$\frac{1}{k}-1>0$，$2x_0$取到区间左端点$k$最优，原式化简为：

$$k(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{k^2}+k=\frac{1}{k^2}+1\\ |AB|+|AC|\geq\sqrt{k^2+1}(\frac{1}{k^2}+1)=\frac{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}}{k^2},\\0<k<1$$

令$k^2=t$，有：

$$|AB|+|AC|\geq\frac{(t^2+1)^\frac{3}{2}}{t}, 0<t<1$$

这个柿子很麻烦，考虑先求$(|AB|+|AC|)^2$的最小值：

$$(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(t^2+1)^3}{t^4}, 0<t<1$$

再次换元，令$m=t^2$，有：

$$(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(m+1)^3}{m^2}, 0<m<1$$

情况2

如果$k=1$，原式的值恒定为2，有：

$$|AB|+|AC|=2\sqrt{2}$$

情况3

如果$k>1$，$\frac{1}{k}-1<0$，$2x_0$取到区间右端点$k$最优，后续变化同情况1。只是$m$的取值范围扩展到$>1$。

因此我们可以合并三种情况，问题等价于：

$$(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(m+1)^3}{m^2},m>0$$

我们想要尽可能放低下界，也就是让不等号的右侧尽可能小，来获取$|AB|+|AC|$的最小值。

令：

$$g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2},x>0$$

则：

$$g'(x)=\frac{3(x+1)^2\times x^2-(x+1)^3\times2x}{x^4}\\ =\frac{3(x+1)^2\times x-(x+1)^3\times2}{x^3}\\ =\frac{(x+1)^2\times(3x-2x-2)}{x^3}\\ =\frac{(x+1)^2\times(x-2)}{x^3}$$

显然$2$是$g'(x)$的零点，并且当$x\in[0,2)$时，$g'(x)<0$，$x\in(2,+\infty)$时，$g'(x)>0$。

因此当$x=2$时，$g(x)$取到最小值为$\frac{27}{4}$。

$$(|AB|+|AC|)^2=\frac{27}{4}\\ |AB|+|AC|=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

[来源]

新高考一卷2023