2024九省联考第19题题解
[题目]
离散对数在密码学中有重要的应用。
设\(p\)是素数，集合\(X=\{1,2,...p-1\}\)。
若\(u,v\in X, m\in N\)，记\(u\otimes v\)为\(uv\)除\(p\)的余数，\(u^{m,\otimes}\)为\(u^m\)出以\(p\)的余数；
设\(a\in X\)，\(1,a,a^{2,\otimes},...,a^{p-2,\otimes}\)两两不同，若\(a^{n,\otimes}=b(n\in\{0,1,...,p-2\})\)，则称\(n\)是以\(a\)为底\(b\)的离散对数，记为\(n=log(p)_ab\)
1）若\(p=11, a=2\)，求\(a^{p-1,\otimes}\)
2）对\(m_1,m_2\in\{0,1,...,p-2\}\)，记\(m_1\oplus m_2\)为\(m_1+m_2\)除以\(p-1\)的余数（当\(m_1+m_2\)能被\(p-1\)整除时，\(m_1\oplus m_2=0\)）。证明：
\(log_{(p)a}(b\otimes c)=log_{(p)a}b\oplus log_{(p)a}c\)，其中\(b,c\in X\)
3）已知\(n=log(p)_ab\)，对\(x\in X, k\in\{1,2,...,p-2\}\)，令\(y_1=a^{k,\otimes}\)，\(y_2=x\otimes b_{k,\otimes}\)。证明：\(x=y_2\otimes y_1^{n(p-2),\otimes}\)
[题解]
为方便表示，下面用\(\%p\)表示除\(p\)的余数。用\(a\equiv b(\%p)\)表示\(a\%p=b\%p\)
1）
2）
根据\(log_{(p)a}\)的定义，要证明的原式：
等价于证明：
定义模\(p\)的完全剩余系为：
数组\(\{a_0,a_1,...a_{p-1}\}\%p\)两两不同，则称数组\(a\)是模\(p\)的完全剩余系。
数组\(\{a_0,a_1,...a_{p-2}\}\%p\)两两不同，且不存在\(i\in\{0,1,...,p-2\}\)满足\(a_i\%p=0\)，则称数组\(a\)是模\(p\)的缩系。
结论1：
\(\forall a\in \{1,2,...,p-1\}\)，满足\(p|a\)不成立（即\(a\)不是\(p\)的因子）的前提下，有：
构成\(p\)的一个缩系。
结论1的证明：
等价于证明：
对\(\forall (i,j)\in\{1,2,...,p-1\}\)，\(i>j\)，满足\(ia\%p\neq ja\%p\)
等价于证明：\((i-j)a\%p\neq0\)
由\(p|a\)不成立可以推出，不存在整数\(x<p\)满足\(xa\%p=0\)
又\(i-j<p-1\)，因此\((i-j)a\%p\neq0\)成立。
结论2：
对整数\(a\)，满足\(p|a\)不成立的前提下，有：
结论2的证明：
对\(p\)来说，它的所有缩系在模\(p\)意义下都是\(\{1,2,...,p-1\}\)。
\(\{1,2,...,p-1\}\)是\(p\)的一个缩系。根据结论1，\(\{a,2a,...(p-1)a\}\)也是\(p\)的一个缩系。因此
两个缩系内部的乘积，在模\(p\)意义下，自然是相同的。
在等式两边同除\((p-1)!\)，可以推出下面的结论3，即费马小定理。
结论3（费马小定理）
对整数\(a\)，满足\(p|a\)不成立的前提下，有：
根据结论3，我们可以推出结论4。
结论4
根据题干给出的定义\(m_1\oplus m_2=(m_1+m_2)\%(p-1)\)，结合结论4，有结论5：
结论5：
根据结论5，可以对要证的等式左右两边分别做变形：
证明完毕。
3）
对要证明的柿子做一些变形：
令\(b^k=y\)，等价于证明：
根据结论3（费马小定理）有：
等式两边同除\(p\)，得证。
[来源]
九省联考2024
