# 2021NC多校05-D(DP+二维前缀和)
2021NC多校05-D
题意:
给出两个字符串A和B,请你从A里选一个子序列a,B里选一个子序列b,使得ab长度相同同时a<b,有多少种选法。
length(A),length(B)≤5000
题解:
定义f[i][j]为A到i为止,B到j为止的公共子序列方案数。
定义g[i][j]为A到i为止,B到j为止,在选A[i],B[j]的前提下,公共子序列的方案数。
那么对每个i和j,有:
f[i][j]=f[i][j−1]+f[i−1][j]−f[i−1][j−1]
如果A[i]=B[j],有:
f[i][j]=f[i][j]+f[i−1][j−1]+1
g[i][j]=g[i−1][j−1]+1
定义q[i][j]为从A[i],B[j]开始往后,在A和B内选长度相同的任意子序列的方案数。
定义p[i][j]为当A[i]<B[j]时,在选A[i],B[j]的前提下往后在A和B内选长度相同的任意子序列的方案数。
定义z[i][j]为在i,j之后,p[i][j]的二维后缀和。
那么对于每个i和j,有:
q[i][j]=q[i+1][j]+q[i][j+1]−q[i+1][j+1]+q[i+1][j+1]+1
如果A[i]<B[j],有:
p[i][j]=q[i+1][j+1]+1
z[i][j]=p[i+1][j]+p[i][j+1]−p[i+1][j+1]+p[i][j]
可以把答案分为两类。
一类是从第一个字符开始就满足a[0]<b[0]的,这类答案的数量显然是z[1][1]。
一类是存在一个k满足1≤i≤k−1,a[i]=b[i],且a[k]<b[k]的。这类答案的数量可以这样算:
枚举A[i]和B[j],在i和j之前选公告子序列,之后选满足第一个选择的位置A[k]<B[k]的子序列,答案就是z[i][j]×g[i][j]
这题还有几个坑:卡内存,数组最多开两个,且不能开long long,这里需要调整一下处理顺序,反复复用两个数组。
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2020-08-13 P1505 [国家集训队]旅游(树链剖分)