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# 2021NC多校05-D(DP+二维前缀和)

2021NC多校05-D

题意:

给出两个字符串A和B,请你从A里选一个子序列a,B里选一个子序列b,使得ab长度相同同时a<b,有多少种选法。

length(A),length(B)5000

题解:

定义f[i][j]Ai为止,Bj为止的公共子序列方案数。

定义g[i][j]Ai为止,Bj为止,在选A[i],B[j]的前提下,公共子序列的方案数。

那么对每个ij,有:

f[i][j]=f[i][j1]+f[i1][j]f[i1][j1]

如果A[i]=B[j],有:

f[i][j]=f[i][j]+f[i1][j1]+1

g[i][j]=g[i1][j1]+1

定义q[i][j]为从A[i],B[j]开始往后,在AB内选长度相同的任意子序列的方案数。

定义p[i][j]为当A[i]<B[j]时,在选A[i],B[j]的前提下往后在AB内选长度相同的任意子序列的方案数。

定义z[i][j]为在i,j之后,p[i][j]的二维后缀和。

那么对于每个ij,有:

q[i][j]=q[i+1][j]+q[i][j+1]q[i+1][j+1]+q[i+1][j+1]+1

如果A[i]<B[j],有:

p[i][j]=q[i+1][j+1]+1

z[i][j]=p[i+1][j]+p[i][j+1]p[i+1][j+1]+p[i][j]

可以把答案分为两类。

一类是从第一个字符开始就满足a[0]<b[0]的,这类答案的数量显然是z[1][1]

一类是存在一个k满足1ik1,a[i]=b[i],且a[k]<b[k]的。这类答案的数量可以这样算:

枚举A[i]B[j],在ij之前选公告子序列,之后选满足第一个选择的位置A[k]<B[k]的子序列,答案就是z[i][j]×g[i][j]

这题还有几个坑:卡内存,数组最多开两个,且不能开long long,这里需要调整一下处理顺序,反复复用两个数组。

posted @   zlc0405  阅读(77)  评论(0编辑  收藏  举报
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