CF1557D.Ezzat and Grid（2200分、线段树）

https://codeforces.com/contest/1557

题意：

给出一个\(n*10^9\)的01矩阵。用\(m\)个区间表示。（\(1 \leq n,m \leq 3 \times 10^5\)）

每个区间包含三个信息：\(i,l,r\)。表示在第\(i\)行，第\(l\)个元素到第\(r\)个元素是1。

一个矩阵被称为美丽的，当且仅当，这个矩阵任意相邻的两行，存在一列使得这两行都为1。

询问最少要删除几行使得矩阵是美丽的。

输出删除数量最少的一个删除方案。

题解：

我们定义：

\(f[i]\)为在保留第\(i\)行的前提下，最少删除几行使得前\(i\)行是美丽的。

\(pre[i]\)为\(f[i]\)表示的状态下，上一个未被删除的行的编号。

那么我们可以枚举\(i\)之前的行，设我们当前枚举的是\(j\)，如果第\(i\)行和第\(j\)行有某个位置都是1，那么\(f[i]\)可以由\(f[j]+i-j-1\)转移过来。

换句话说，对于所有满足条件的\(j\)，我们取\(f[j]+i-j-1\)的最小值作为\(f[i]\)的答案。

即：\(f[i]=min_{j=1}^{i-1}f[j]+i-j-1[行i和行j有一个位置都是1]\)

然后把这个式子移项，想方设法让\(i\)和\(j\)独立：

\(f[i]-i=min_{j=1}^{i-1}f[j]-j-1\)

观察到式子右边只和\(j\)有关了。

然后我们考虑如何找满足条件\([行i和行j有一个位置都是1]\)的\(j\)的数量。

可以先对所有区间\([i,l,r]\)做离散化处理，然后用数组\(a\)表示两个信息：

\(a_i\)表示第\(i\)个点为\(1\)的所有行的最小\(f[j]-j-1\)值和对应\(j\)的值。

用线段树维护数组\(a\)的区间最小值。

然后在转移的过程中，参考线段树求最长递增子序列的思路，先对当前第\(i\)行的所有区间，区间询问数组\(a\)的最小值，然后取最小值和那个对应的下标转移给\(f[i]\)和\(pre[i]\)。然后对第\(i\)行的所有区间\([l,r]\)，用\(f[i]-i-1\)去和区间里的值\(a_i\)取\(min\)，即对区间内的每个数\(a_i\)，\(a_i=min(a_i,f[i]-i-1)\)。

对于这部分，懒惰标记有点细节处理：

假设我们要使得区间内\(a_i=min(a_i,v)\)。

1）如果当前区间的最小值大于\(v\)，就更新当前区间的最小值和下标，同时把懒惰标记往下打。

2）如果当前区间的最小值小于等于\(v\)，就直接往下打懒惰标记，不修改当前区间的信息。

最后，枚举\(f[i]+n-i\)的最小值，得到最优答案和最后一个没有被删除的行的位置，根据\(pre[i]\)往前递归求出所有没有被删除的行。

剩下的就是被删除的行，输出即可。