1473E. Minimum Path（最短路+三维DP）

给出一个无向带权图。

定义一条路径的长度为：

\(\sum_{i=1}^kw_{e_i}-\max_{i=1}^kw_{e_i}+\min_{i=1}^kw_{e_i}\)

询问1号点到每个点的最短路径。

\(Solution\)

没见过的套路，比赛时确实是做不了。

但是在2400分的题中应该很基础。

可以把题意转化为，对于一条路径，可以支持两种操作：

一种是减去一条边的边权。

一种是将一条边的边权加2次。

从而定义出状态\(f(i,j,k)\)表示从起点到地\(i\)个点，是否执行了操作1，是否执行了操作2。

这样就可以表示出所有的状态。每个点的答案就是\(f(i,1,1)\)。

\(Dijkstra\)的本质是\(DP\)，这道题之后对于最短路和\(DP\)的理解更加深刻了。

//f(i,j,k)表示到第i个点的时候
//是否执行第1次操作
//是否执行第2次操作 
//的最短路径 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+100;
const ll inf=1e18;
struct node {
	int u,v,w,nxt;
}edge[maxn<<1];
int head[maxn],tot;
ll f[maxn][2][2];
ll vis[maxn][2][2];
int n,m;
void addedge (int u,int v,int w) {
	edge[tot].u=u;
	edge[tot].v=v;
	edge[tot].w=w;
	edge[tot].nxt=head[u];
	head[u]=tot++;
	edge[tot].u=v;
	edge[tot].v=u;
	edge[tot].w=w;
	edge[tot].nxt=head[v];
	head[v]=tot++;
}
struct qnode {
	int A,B,C;
	ll w;
	qnode (int AA,int BB,int CC,ll ww) {
		A=AA;
		B=BB;
		C=CC;
		w=ww;
	}
	bool operator < (const qnode &r) const {
		return w>r.w;
	}
};
void dij (int s) {
	for (int i=0;i<=n;i++) for (int j=0;j<2;j++) for (int k=0;k<2;k++) f[i][j][k]=inf;
	f[s][0][0]=0;
	priority_queue<qnode> q;
	q.push(qnode(s,0,0,f[s][0][0]));
	while (q.size()) {
		qnode tt=q.top();
		q.pop();
		int A=tt.A;
		int B=tt.B;
		int C=tt.C;
		if (vis[A][B][C]) continue;
		long long dis=tt.w;
		vis[A][B][C]=1; 
		for (int i=head[A];i!=-1;i=edge[i].nxt) {
			int v=edge[i].v;
			if (!vis[v][B][C]&&dis+edge[i].w<f[v][B][C]) {
				f[v][B][C]=dis+edge[i].w;
				q.push(qnode(v,B,C,f[v][B][C]));
			}
			if (!B&&!vis[v][!B][C]&&dis<f[v][!B][C]) {
				f[v][!B][C]=dis;
				q.push(qnode(v,!B,C,f[v][!B][C]));
			}
			if (!C&&!vis[v][B][!C]&&dis+2*edge[i].w<f[v][B][!C]) {
				f[v][B][!C]=dis+2*edge[i].w;
				q.push(qnode(v,B,!C,f[v][B][!C]));
			}
			if (!B&&!C&&!vis[v][!B][!C]&&dis+edge[i].w<f[v][!B][!C]) {
				f[v][!B][!C]=dis+edge[i].w;
				q.push(qnode(v,!B,!C,f[v][!B][!C]));
			}
		}
	}
}
int main () {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=0;i<=n;i++) head[i]=-1;
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		addedge(u,v,w);
	}
	dij(1);
	for (int i=2;i<=n;i++) printf("%lld ",f[i][1][1]);
}