P3377 【模板】左偏树（可并堆）

如题，一开始有 nn 个小根堆，每个堆包含且仅包含一个数。接下来需要支持两种操作：

1. 1 x y：将第 xx 个数和第 yy 个数所在的小根堆合并（若第 xx 或第 yy 个数已经被删除或第 xx 和第 yy 个数在用一个堆内，则无视此操作）。

2. 2 x：输出第 xx 个数所在的堆最小数，并将这个最小数删除（若有多个最小数，优先删除先输入的；若第 xx 个数已经被删除，则输出 -1−1 并无视删除操作）。

左偏树byHsfzZH1

左偏树是一种支持在O(logn*logn)的时间复杂度内进行合并的堆式数据结构

一些定义：

外节点：左儿子或右儿子是空节点的节点

距离：一个节点的距离d[x]定义为其子树中与节点x最近的外节点到x的距离，特别的，定义空节点的距离为-1。

左偏树的基本性质：

具有堆的性质。

具有左偏性质，即对于每个节点x，有d[l]>d[r]。

基本结论：

（1）节点x的距离d(x) = d(rc) + 1

（2）距离为n的左偏树至少有2^(n+1)-1个节点，此时该左偏树的形态是一颗满二叉树。

（3）有n个节点的左偏树的根节点的距离是O(logn)的。

合并操作：

左偏树最基本的操作是合并操作。

定义merge(x,y)为合并两颗分别以xy为根节点的左偏树。其返回值为合并之后的根节点。

首先不考虑左偏性质，我们描述一下合并两个具有堆性质的树的过程。假设我们要合并的是小根堆。

（1）若vx<=vy，以x作为合并后的根节点，否则以y作为合并后的根节点。

（2）将y与x的其中一个儿子合并，用合并后的根节点代替与y合并的儿子的位置，并返回x。

（3）重复以上操作。如果x和y中有一个为空节点，返回x+y。

令h为树高，每次合并都减少1，上述操作的时间复杂度是O(h)的。

当要合并的树退化成一条链的时候，这样做的复杂度是O(n)的。

要使时间复杂度更优，就要使树合并得更平衡。我们有两种方式：

（1）每次随机选择x的左右儿子进行合并。（很像Treap）。

（2）左偏树。

由于左偏树中左儿子的距离大于右儿子的距离，我们每次将y与x的右儿子合并。

由于左偏树的树高是logn的，所以单次合并的时间复杂度也是logn的。

但是，两颗左偏树按照上述方法合并后，可能不再保持左偏树的左偏性质，在每次合并完后，判断对节点x是否有d(lc)>d(rc)。若没有，则交换lc，rc，并维护x的距离d(x) = d(rc) + 1。

插入给定值：

新建一个值等于插入值的节点，将该节点和左偏树合并即可。时间复杂度O(logn)。

求最小值：

由于左偏树的堆性质，左偏树上的最小值为其根节点的值。

删除最小值：

等价于删除左偏树的根节点，合并根节点的左右儿子即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+100;
int n,m,op,x,y;
int lc[maxn];
int rc[maxn];
int d[maxn];
int father[maxn];
bool tf[maxn];
struct Left_tree {
    int id,v;
    bool operator < (const Left_tree x) const {
        return v==x.v?id<x.id:v<x.v;
    }
}a[maxn];
int findfather (int x) {
    int a=x;
    while (x!=father[x]) x=father[x];
    while (a!=father[a]) {
        int z=a;
        a=father[a];
        father[z]=x;
    }
    return x;
}
int merge (int x,int y) {
    if (!x||!y) return x+y;
    if (a[y]<a[x]) swap(x,y);
    rc[x]=merge(rc[x],y);
    if (d[lc[x]]<d[rc[x]]) swap(lc[x],rc[x]);
    d[x]=d[rc[x]]+1;
    return x;
}
int main () {
    d[0]=-1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].v),father[i]=i,a[i].id=i;
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d",&op,&x);
        if (op==1) {
            scanf("%d",&y);
            if (tf[x]||tf[y]) continue;
            x=findfather(x);
            y=findfather(y);
            if (x!=y) father[x]=father[y]=merge(x,y);
        }
        if (op==2) {
            if (tf[x]) {
                printf("-1\n");
                continue;
            }
            x=findfather(x);
            printf("%d\n",a[x].v);
            tf[x]=1;
            father[lc[x]]=father[rc[x]]=father[x]=merge(lc[x],rc[x]);
            lc[x]=rc[x]=d[x]=0;
        }
    }
}