bzoj 2186

非常有趣的题

题意:求1~N!中有多少个与M!互质的数,T组询问,答案对R取模

题解:

首先,因为N>M,所以N!>M!,所以答案一定有一部分是φ(M!)

接下来做一些分析:

引理:

若x与p互质,则x+kp与p互质(k∈Z)

证明:

反证法:假设x+kp与p不互质,则设gcd(x+kp,p)=d(d!=1),那么设p=k1d,x+kp=k2d,于是:

x=k2d-kk1d

所以x=(k2-kk1)d

那么gcd(x,p)=d

这与x与p互质相矛盾,假设不成立,原命题得证

那么,我们可以将N!分组,每组大小为M!(即将N!中每个数表示成kM!+c),那么每部分与M!互质的数的个数都是φ(M!),合起来就是N!/M!*φ(M!)

预处理即可,需要使用unsigned来卡常

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll unsigned int
#define ull unsigned long long
#define maxn 10000000
using namespace std;
ll n,m;
ll T,R;
ll inv[maxn+5];
ll mul[maxn+5];
ll pri[maxn+5];
ll phi[maxn+5];
bool used[maxn+5];
int tot=0;
void init()
{
    phi[1]=inv[0]=inv[1]=mul[0]=mul[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        inv[i]=(ull)(R-R/i)*inv[R%i]%R;
        if(!used[i])
        {
            pri[++tot]=i;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=maxn;j++)
        {
            used[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        mul[i]=(ull)mul[i-1]*i%R;
        inv[i]=(ull)inv[i-1]*inv[i]%R;
        if(!used[i])
        {
            phi[i]=(ull)phi[i-1]*(i-1)%R;
        }else
        {
            phi[i]=(ull)phi[i-1]*i%R;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%u%u",&T,&R);
    init();
    while(T--)
    {
        scanf("%u%u",&n,&m);
        printf("%u\n",(ull)mul[n]*inv[m]%R*(ull)phi[m]%R);        
    }
    return 0;
}

 

posted @ 2018-10-26 19:20  lleozhang  Views(119)  Comments(0Edit  收藏  举报
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