01分数规划详析 (洛谷4377）

基本题面：

设有n组数据a,b，对于每一组数据，都有选和不选两种状态（设状态为x，选则x=1,不选则x=0），现在欲求出所有选中的数据中，∑a/∑b的最大值。

接下来是一些数学问题：

设原式最大值为R，R=∑（ai·xi）/∑（bi·xi）

若设L为某一种不那么优的选法，则恒有R>=L

则：

∑（ai·xi）/∑（bi·xi）>=L

于是：

∑（ai·xi）>=∑（bi·xi）·L

那么：

∑（ai·xi）-∑（bi·xi）·L>=0

所以：

∑（（ai-bi·L）·xi）>=0

所以我们构造一个函数f(L)，

f(L)=∑（（ai-bi·L）·xi）

这时我们讨论一下函数f(L)的性质：

根本性质一：首先，对于所有有意义的R,L，f（L）>=0，

根本性质二：其次，设d=ai-bi·L，则d随L单调递减！

那么我们会发现，如果L足够大，那么无论x如何取值，所得函数值均小于0！

这就与根本性质一相矛盾

于是我们发现，一定存在一个临界状态的L能够使得∃f(L)>=0,而使得∀f(L+1)<0！

而且这个L满足单调性，故可以二分答案！

同时我们会发现，其实R就是所有L中的一个值，所以求出L的最大值就是求出了L！

对于每个L，我们仅需按贪心地求出f(L)最大值，判断其正负即可。

对于本题，我们只需用01背包求出最大值即可。

贴代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
int w[255];
int b[255];
int n,W;
ll f[10005];
bool check(int z)
{
    for(int i=1;i<=W;i++)
    {
        f[i]=-0x3f3f3f3f;
    }
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=W;j>=0;j--)
        {
            if(f[j]!=-0x3f3f3f3f)
            {
                int wei=j+w[i];
                wei=min(wei,W);
                f[wei]=max(f[wei],f[j]+b[i]-(ll)z*w[i]);
            }
        }
    }
    if(f[W]>=0)
    {
        return 1;
    }
    return 0;
}
int div()
{
    int l=0;
    int r=1000000;
    int ans=0;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))
        {
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }else
        {
            r=mid-1;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&W);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&b[i]);
        b[i]*=1000;
    }
    printf("%d\n",div());
    return 0;
}