loj 6485

单位根反演好题

题意：求$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}S^{i}a_{ i mod 4 }$

看到$i$ $mod$ $4$这种东西，很显然要分类讨论啦

于是变成了这种形式：

$\sum_{d=0}^{3}a_{d}\sum_{i=0}^{n}[$ $i\equiv d$ $mod$ $4$]$C_{n}^{i}S^{i}$

前面暂时先不管，如果不考虑到取模的限制，发现我们实际只是在求这个东西

$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}S^{i}$

写成形式幂级数（生成函数）的形式，就是这样：

$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}S^{i}x^{i}$

感觉有点像二项式定理，把原式改写成这个形式：

$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{n-i}S^{n-i}$

再去构造生成函数，也就是：

$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{n-i}S^{n-i}x^{i}$

这就是二项式定理了嘛

也就是：

$(x+S)^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{n-i}S^{n-i}x^{i}$

可是没有什么帮助吧...

其实是有的！

不要忘了单位根反演的表达式：

若$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$，则$\sum_{i=0}^{n}a_{i}[d|i]=\frac{1}{d}\sum_{p=0}^{d-1}f(w_{d}^{p})$

那么我们看到，当模4等于0时，所求的部分即为$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{n-i}S^{n-i}[4|i]$

那么也就是$\frac{1}{4}\sum_{i=0}^{3}f(w_{4}^{i})$

这样这一部分就...算完了

可是$mod$ $4$不为0的部分怎么办呢？

多项式平移啊！

我们整体乘一个$x$，这样现在模$4$为0的项就是原来模$4$为1的项了嘛（不要忘了我们已经反转了系数！）

这样就可做了

最后的表达式即为$\frac{1}{4}\sum_{d=0}^{3}a_{(n+d)mod 4}\sum_{p=0}^{3}(w_{4}^{p})^{d}f(w_{4}^{p})$

最后也就是$\frac{1}{4}\sum_{d=0}^{3}a_{(n+d)mod 4}\sum_{p=0}^{3}(w_{4}^{p})^{d}(w_{4}^{p}+S)^{n}$

代码也就很好写了

 

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=998244353;
ll f[4];
ll w[4];
ll a[4];
int T;
ll n,S;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    w[0]=1;
    for(int i=1;i<=3;i++)w[i]=w[i-1]*pow_mul(3,(mode-1)/4)%mode;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&S);
        for(int i=0;i<=3;i++)scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=0;i<=3;i++)f[i]=pow_mul(w[i]+S,n);
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<=3;i++)
        {
            ll s=0;
            for(int j=0;j<=3;j++)s+=f[j],s%=mode;
            for(int j=0;j<=3;j++)f[j]=f[j]*w[j]%mode;
            s=s*a[(n+i)%4]%mode;
            ans=(ans+s)%mode;
        }
        printf("%lld\n",ans*pow_mul(4,mode-2)%mode);
    }
    return 0;
}