多项式问题之三——多项式开根

问题：已知一个多项式$F(x)$次数为$n-1$，求一个多项式$G(x)$使得$(G(x))^{2}\equiv F(x)$($mod$ $x^{n}$)

（保证常数项为$1$）

仍然是推式子

首先，不难发现的是如果$F(x)$次数为0，那么$G(x)=1$

类似多项式求逆，我们倍增处理：

设已知$H(x)^{2}\equiv F(x)$($mod$ $x^{\frac{n}{2}}$)

那么有$H(x)^{2}-F(x)\equiv 0$($mod$ $x^{\frac{n}{2}}$)

两边平方，得：

$[H(x)^{2}-F(x)]^{2}\equiv 0$($mod$ $x^{n}$)

两边加上$4H(x)^{2}F(x)$，得到：

$[H(x)^{2}+F(x)]^{2}\equiv 4H(x)^{2}F(x)$($mod$ $x^{n}$)

两边除掉$4H(x)^{2}$，得：

$\frac{[H(x)^{2}-F(x)]^{2}}{4H(x)^{2}}\equiv F(x)$($mod$ $x^{n}$)

可以发现左边是一个完全平方的形式，那么我们整理一下，得到：

$[\frac{H(x)^{2}-F(x)}{2H(x)}]^{2}\equiv F(x)$($mod$ $x^{n}$)

那么我们所求的$G(x)$不就出来了嘛

$G(x)=\frac{H(x)^{2}-F(x)}{2H(x)}$

用类似多项式求逆的方法递归求解即可

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=998244353;
int to[(1<<20)+5];
ll ig[(1<<20)+5];
ll F[100005];
ll G[100005];
ll GF[100005];
int n;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
void NTT(ll *a,int len,int k)
{
    ll inv=pow_mul(len,mode-2);
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
            {
                ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w%mode;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
    }
}
ll a[(1<<20)+5],b[(1<<20)+5],c[(1<<20)+5];
void mul(ll *A,ll *B,int lenA,int lenB)
{
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=(lenA+lenB))lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1))); 
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<lenA;i++)a[i]=A[i];
    for(int i=0;i<lenB;i++)b[i]=B[i];
    NTT(a,lim,1),NTT(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=a[i]*b[i]%mode;
    NTT(c,lim,-1);
}
void get_inv(ll *f,ll *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)/2;
    get_inv(f,g,nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)a[i]=f[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)b[i]=g[i];
    NTT(a,lim,1),NTT(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=a[i]*b[i]%mode*b[i]%mode;
    NTT(c,lim,-1);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=((2*g[i]-c[i])%mode+mode)%mode;
}
void get_sqr(ll *f,ll *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=1;
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_sqr(f,g,nxt);
    for(int i=0;i<dep;i++)ig[i]=0;
    get_inv(g,ig,dep);//对g求逆
    mul(g,g,dep,dep);//g自乘
    for(int i=0;i<dep;i++)GF[i]=(c[i]+F[i])%mode;//多项式加法 
    for(int i=0;i<dep;i++)ig[i]=ig[i]*(mode-mode/2)%mode;//乘2 
    mul(GF,ig,dep,dep);//乘法 
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=c[i];
}
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)F[i]=read();
    get_sqr(F,G,n);
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",G[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}