bzoj 1925

一道略有难度的dp

设状态$dp[i][j]$表示长度为$i$，开头高度为$j$且为山峰的方案数

考虑到一个序列是对称的，所以总方案数即为$2*\sum_{i=2}^{n}dp[n][i]$

这样我们只需考虑转移即可

首先，我们发现，如果两个数$i$与$i+1$不相邻，那么交换这两个数之后方案数不变

这个...感性理解一下，如果两个数不相邻，若$i$在原位置是山峰，换成$i+1$后肯定仍然是山峰，而如果$i$在原位置是山谷，那么换成$i+1$后由于$i+1$并不在$i$的左右，因此换成$i+1$后肯定仍为山谷

剩下的同理可证

因此第一个方向就是：假设$j$与$j-1$不相邻，那么转移就是$dp[i][j]=dp[i][j-1]$（即原来$j-1$在山峰，然后交换$j$与$j-1$，方案数不变）

那么如果$j$与$j-1$相邻呢？

那么需要第二个性质：如果一个序列{$a_{i}$}是波动序列，那么序列{$(n+1)-a_{i}$}也是波动序列，且波峰波谷恰好相反

那么如果$j$与$j-1$相邻，$j$在首位为波峰，那么$j-1$必然在第二位为波谷，那么我们只需求出$j-1$为波谷的方案即可

再根据第二条性质，我们可以将所有以$j-1$开头为波谷的序列每一位用$i-1+1$去减，那么就会变成以$i-j+1$为开头波峰的方案数

因此总转移方程即为$dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j+1]$

滚动数组优化一下即可

#include <cstdio>
#define ll long long
ll dp[2][4505];
ll n,p;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    dp[0][2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)for(int j=2;j<=i;j++)dp[i&1][j]=(dp[i&1][j-1]+dp[(i-1)&1][i-j+1])%p;
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)ans=(ans+dp[n&1][i])%p;
    printf("%lld\n",ans*2%p);
    return 0;
}