BSGS详析

BSGS是Baby-step-Giant-step的简写，是用来求解一类问题的算法

模型：求解方程$A^{x}\equiv B$ mod $C$，保证C为质数

首先，我们分析一下暴力的方法：直接从0开始枚举x计算，直到求出答案为止

时间复杂度？

$O(C)$

等等，为什么是$O(C)$?

根据费马小定理，$A^{C-1}\equiv 1$mod $C$，因此仅需枚举$x\in [0,C-1]$即可找出所有可能的结果，比较即可

这个复杂度不够优秀，有没有什么方法能降下来？

分块！

设$m=\sqrt{C}$，那么每一个$x$都可以写成$x=i*m+j$的形式，由于有$x<C$，因此$i\in [0,m],j\in [0,m]$！

优化在哪了？

我们发现，如果把$x$变成这个形式，那么我们就可以对原表达式进行变形：

$A^{x}\equiv B$ mod $C$

$A^{i*m+j}\equiv B$ mod $C$

$A^{i*m}*A^{j}\equiv B$ mod $C$

 乱七八糟鼓捣了半天，这是要干啥？

我们发现，$A^{i*m}$这一项的取值不超过$\sqrt{C}$个，因此我们可以将之预处理出来，同时$A^{j}$的取值也不超过$\sqrt{C}$个，同样可以预处理，而且我们发现，如果将$A^{i*m}$这一项作为已知的系数进行枚举，那么这就变成了一个同余方程，用ex_gcd或费马小定理求解是可以在$O(log2C)$（大概是这个复杂度）的时间内求出对应的$A^{j}$的！

于是我们仅需检验这一$A^{j}$是否出现过即可，借助map或hash表，这一过程可以被简化成$O(log)$或$O(1)$的！

于是总复杂度即为$O(\sqrt{C}log2(C))$

贴代码

（这个是bzoj 2242的代码，这是一道板子题，前20分是快速幂，中间35分是ex_gcd或者费马小定理，最后45分是BSGS）

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#define ll long long
using namespace std;
ll y,z,p;
ll mul[200005];
map <ll,int> M;
int T,k;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll pow_mul(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod,b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&T,&k);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
        if(k==1)printf("%lld\n",pow_mul(y,z,p));
        else if(k==2)
        {
            if(gcd(y,p)!=1)printf("Orz, I cannot find x!\n");
            else printf("%lld\n",pow_mul(y,p-2,p)*z%p);
        }else
        {
            M.clear();
            if(z==1){printf("0\n");continue;}
            ll tt=(ll)sqrt(p)+1;
            ll ed=0;
            for(ll i=0;i*tt<=p;i++)mul[i+1]=pow_mul(y,i*tt,p),ed=i;
            for(ll i=0;i<=tt;i++)M[pow_mul(y,i,p)]=i+1;
            bool flag=0;
            for(ll i=0;i<=ed;i++)
            {
                if(gcd(mul[i+1],p)!=1)continue;
                ll temp=pow_mul(mul[i+1],p-2,p)*z%p;
                if(M[temp]){printf("%lld\n",M[temp]-1+i*tt);flag=1;break;}
            }
            if(!flag)printf("Orz, I cannot find x!\n");
        }
    }
    return 0;
}