概率与期望在oi中的有关公式及其应用

考完THUSC2019回来的我发现自己对概率与期望一无所知...

因此这一篇应该是填一个（给自己）挖了差不多两年的坑...

接下来详细介绍概率与期望问题：

（接下来所有内容均是按个人理解进行的表述，如有问题请不吝指出！）

一.概率

定义：在大量进行的实验中，一个事件发生的频率会稳定在一个定值，这个定值称为这个事件的概率

古典概型：如果可能发生的结果数量为$p$，而事件A发生的数量为$q$，且这$p$个事件是等可能的，那么事件A发生的概率为：$P(A)=\frac{q}{p}$

概率的一般加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

贝叶斯公式的引理：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$，$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$，即$P(A\cap B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)$

贝叶斯公式：$P(A|B)=\frac{P(A)*P(B|A)}{P(B)}$，$P(B|A)=\frac{P(B)*P(A|B)}{P(A)}$

（是的，这一堆其实就是互相移项得到的）

互斥事件：两个不可能同时发生的事件称作互斥事件，对于互斥事件A,B，有：

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$,$P(A\cap B)=0$

对立事件：两个不可能同时发生且必有一个发生的事件称作对立事件，对于对立事件A,B，有：

$P(A\cup B)=1=P(A)+P(B)$，$P(A\cap B)=0$

对第一个公式移项，得：

$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$

这提示了我们一个很重要的思想：正难则反！对于某一个事件的概率，如果不容易计算，我们可以计算出他的对立事件的概率然后用1去减即可

 二.期望

对于一个随机变量的分布列X，X的每个取值与对应概率的乘积之和即为期望

表达式：$E(X)=\sum_{i=1}^{n}P_{i}*x_{i}$

期望的性质：

线性性质：$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

特别地，当$a=b=1$时，有：

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

这就是“期望的和等于和的期望”

 接下来是一些特殊的性质：

对于一个分布列X，满足$P_{i}=C_{n}^{i}*\frac{q}{p}^{i}*\frac{p-q}{p}^{n-i}$,可以发现这里的概率均满足二项式定理中每一项的系数，因此这个分布列被称作二项分布

二项分布的实际意义：有A,B两种物品，分别有q,p-q个，现在有放回的取出n个，那么恰好有i个A的概率即为上述

二项分布的公式：$E(X)=n*\frac{q}{p}$，$D(X)=n*\frac{q}{p}*\frac{p-q}{p}$

 对于一个分布列X，满足$P_{i}=\frac{C_{M}^{i}*C_{N-M}^{n-i}}{C_{N}^{n}}$，这样的分布称为超几何分布

实际意义：在总共N件产品中抽出n件物品，其中有i件物品属于类别M的概率

公式：$E(X)=n*\frac{M}{N}$

（方差的公式过于长，这里不做展示）