博弈论简介

这一篇是对博弈论的简单介绍，主要提出一些概念

一.游戏：

博弈论中研究的游戏主要具有以下几个特征：

①：游戏有两个人参与，两个人轮流参与决策

②：在游戏中的任意时刻，游戏中的任何一方都知道当前游戏的所有信息（所以扑克，麻将等基本不在博弈论研究范围之内，因为你不会同意对手看你的牌，不是吗？）

③：在游戏中的任意时刻，玩家可以选择的操作都是一个可以确定的有限集合（“拒绝全靠运气的辣鸡游戏”）

④：在有限步之后，游戏必然会终止，此时至多只有一方获得胜利（首先，我们不能用一辈子玩一个结束不了的游戏，其次，我们似乎也不是很愿意玩到最后双方都赢了...）

这是博弈论研究的游戏的一些特征，虽然好像有局限性，但是大部分是成立的

再加一条：如果这个游戏是公平的，那么

⑤：在任何一个局势下游戏的胜负情况与玩家无关（可能不是很好理解，往下看看就明白了）

二.玩家：

由于一个游戏是两个人轮流进行操作，所以在每一种情况下我们都可以进行区分：当前进行操作的人称为先手，而下一步进行操作的人称为后手

三.局面：

对于一个公平的游戏，我们可以将它的局面分成三类：先手必胜，先手必败与无法判定（这个局面下，最终将无人获得胜利）

先手必胜：如果当前局面下先手存在一种操作，使得进行这一步以后后手接下来无论如何操作都会失败，那么这个局面称为先手必胜的局面

先手必败：如果当前局面下先手的所有操作所产生的局面都是先手必胜的，那么当前局面就是先手必败的（因为下一个局面的先手就是这一局面的后手嘛）

无法判定：除去上面两种情况外的所有情况

有了这些解释，我们就能更好的理解特征⑤了：一个公平的游戏，每个局面只由当前的形势决定先手必胜与必败，而与先手是谁无关！

同时，基于上面的定义，我们事实上给出了先手必胜与必败的判定方法！

（关于判定方法的解释：只要这个局面下有一种操作，使得下一个局面是先手必败的，那么此时的先手只需要采用这个操作就能达到先手必胜，但是只有当这个局面之后的每一个局面都是先手必胜的，这一局面才是先手必败的，否则这一局面的先手一定会采用其他操作）

我们称先手必败的局势为$p-position$，先手必胜的局势为$n-position$

这些就是博弈问题的基础定义，给出这些定义之后我们才能去讨论别的问题。