数论知识点总结（noip范围）
数论知识点：
约数个数和约数和公式（例题：POJ1845 分治思想）：
质因数分解 p1^k1xp2^k2xp3^k3...pn^kn
约数个数和：（1+k1）(1+k2)...(1+kn)
所有约数和=(1+p1+p1^2+...+p1^k1)...(1+pn+pn^2+...+pn^kn)
求和方法：因式分解+分治
或者等比数列求和+拓展GCD求逆元欧拉定理：若GCD(x,y)≡1,则x^（φ(y))≡1（mode y）
特殊：费马小定理：若y是质数，且x，y互质，则x^(y-1)≡1 (mode y)推论：降幂公式：若GCD（x，y）≡1，则a^x≡a^（x%φ(y)）(mode y）
若GCD（x,y）≠ 1,则a^x≡a^（x%φ(y)+φ（y））(mode y)欧拉函数：φ(x),其中若x为质数，则φ(x)=x-1，且欧拉函数为积性函数（人话：可以线性筛！！！）
gcd与lcm：GCD（x,y）xLCM（x,y）=xy
拓展GCD：ax≡y (mod p)
刚刚写计算器，发现我对拓展gcd的理解出现了漏洞......
（我发现我忽略了使用拓展gcd的第一步，上来就递归......）
使用拓展gcd步骤如下：
给定不定方程ax≡y(mode p)
首先求gcd(a,p)=t ①
若y mode t !=0，则原方程无整数解
若y mode t = 0，则：
a/=t,y/=t,p/=t ②
即将原方程化为a0x+p0z=y0的形式
接下来求出a0x+p0z=1 ③的一组整数解x0，z0
此时才用到拓展gcd
其解法:辗转相除至b=0，此时赋值x=1，y=0,回溯时修改x=y0,y=x0-(a/b)y0
然后再算出x=y0*x0+kp0（k∈Z）
z=y0*z0+kp0（k∈Z） ④
最后化出正整数（取模加模再取模）即可 ⑤
所以拓展gcd是至少有5步的！
（然而我只记得辗转相除再赋值...所以计算器WA了一下午...）求逆元：拓展GCD，费马-欧拉定理，线性筛
中国剩余定理：已知
x%a0≡a1,x%b0≡b1,x%c0≡c1
令M1=b0xc0，M2=a0xc0，M3=a0xb0
则原方程可变为：
M1x1≡1（mode a0）
M2x2≡1（mode b0）
M3x3≡1（mode c0）
显然可用拓展gcd解出x1,x2,x3
那么，所求x=(M1a1x1+M2a2x2+M3a3x3)%(LCM(a0,b0,c0))结论：中国剩余定理给出了一系列模方程组，可以采用拓展GCD将上述方程拓展到n个，采用拓展gcd解之即可
通解： 对于x%a0≡b0...等一系列方程组
我们可以令M=Πai
对于每一个xi，求出Mixi≡1（mode ai）的xi
其中Mi=M/ai
则最终所求的x=Σ(Mibixi)%M
例：曹冲养猪线性筛：线性筛可以筛：
素数+欧拉函数：
void eular()
{
for(int i=2;i<=maxN;i++)
{
if(used[i]==0)
{
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=maxN;j++)
{
used[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}else
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
}
素数+约数个数：
void make(int n)//线性筛
{
f[1]=1;//初值
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(used[i]==0)//未被标记
{
f[i]=2;//该数为素数
p[++cnt]=i;
d[i]=1;//该数最大次数为1
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
{
used[i*p[j]]=1;//打标记
if(i%p[j]==0)//该数中有这一质因子
{
f[i*p[j]]=f[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2);//此二数之积的因数个数应为其中一数的因数个数再多一个该质数
d[i*p[j]]=d[i]+1;//最小质因子最高次幂就是其加上1
break;
}
f[i*p[j]]=f[i]*2;//搞定
d[i*p[j]]=1;
}
}
}
对模mode的逆元：
void init()
{
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
inv[i]=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
}
inv[0]=1;
for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mode;
}
jiecheng[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
jiecheng[i]=jiecheng[i-1]*i%mode;
}
}以及混合起来的万能筛：
#include <cstdio>
#define mode 998244353
#define maxn 1000000
using namespace std;
bool used[1000006];
int prime[1000006];//素数
int fac[1000006];//约数个数
int mi[1000006];//约数的最高次幂
int inv[1000006];//对mode的逆元
int phi[1000006];//欧拉函数
int cnt=0;
void init()
{
inv[0]=1;
inv[1]=1;
fac[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
inv[i]=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
if(!used[i])
{
prime[++cnt]=i;
fac[i]=2;
mi[i]=1;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=maxn;j++)
{
used[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
fac[i*prime[j]]=fac[i]/(mi[i]+1)*(mi[i]+2);
mi[i*prime[j]]=mi[i]+1;
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
fac[i*prime[j]]=fac[i]*2;
mi[i*prime[j]]=1;
}
}
}
int main()
{
init();
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
printf("%d\n",prime[i]);
}
return 0;
}
