其他数学问题—递推与生成函数 - 随笔分类 - lleozhang

摘要：这类问题的基本模型是：你有

n

$n$ 个小球，

m

$m$ 个盒子，现在想把这

n

$n$ 个小球放进

m

$m$ 个盒子中，问有多少种放的方法但是只给出这样的条件并不足够，我们必须加上一些限制，否则结果是不确定的一般加的有三个限制，即小球是否有区别、盒子是否有区别、允不允许有空盒子，也因此可以组合出八种不同的问题接下来我阅读全文

posted @ 2021-11-14 15:03 lleozhang 阅读(581) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF960G

摘要：首先我们考虑

n

$n$ 的情况，显然以

n

$n$ 为分界线可以将整个序列分成两部分，就像这样：、那么我们考虑：在这个东西前面才会有前缀最大的统计，在这个东西后面才会有后缀最大的统计这样就剩下了

n - 1

$n-1$ 个元素，而我们需要把这

n - 1

$n-1$ 个元素分成

A + B - 2

$A+B-2$ 个集合，然后把每个集合的最大的一个放在一端，然后阅读全文

posted @ 2019-07-08 18:46 lleozhang 阅读(180) 评论(0) 推荐(0) 编辑

loj 6077/bzoj 2431

摘要：首先我们考虑一个暴力的dp：我们从小到大加入每个数，当我们加入第

i

$i$ 个数时，可能产生的逆序对数量是

[0, i - 1]

$[0,i-1]$ （这个证明考虑把第

i

$i$ 个数放在哪即可），这样可以列出一个递推式：设状态

d p [i] [j]

$dp[i][j]$ 表示已经加到了第

i

$i$ 个数，此时的逆序对个数为

j

$j$ ，那么有转移：$dp[i][j]= 阅读全文

posted @ 2019-07-04 21:50 lleozhang 阅读(465) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luogu 4389

摘要：生成函数好题首先我们对每一种物品（设体积为

v_{i}

$v_{i}$ ）构造生成函数

F (x) = \sum_{j = 1}^{\infty} x^{j v_{i}}

$F(x)=\sum_{j=1}^{\infty}x^{jv_{i}}$ 那么很显然答案就是这一堆东西乘在一起但是...这个复杂度是

O (n m l o g_{2} m)

$O(nmlog_{2}m)$ 的，显然不合理因此我们考虑优化我们发现，如果我们把所有生成函阅读全文

posted @ 2019-06-23 20:02 lleozhang 阅读(214) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合数学，容斥原理与反演

摘要：这一篇是一个专题总结，可能会写很久，希望不会咕掉一.组合数学： ①.基本公式： 1.排列数公式

A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}

$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$ ，表示从

n

$n$ 个元素中选出

m

$m$ 个元素并进行全排列的方案数特别的，当

m = n

$m=n$ 时，有

A_{n}^{n} = n!

$A_{n}^{n}=n!$ （规定

0! = 1

$0!=1$ ） 2.组合数阅读全文

posted @ 2019-06-22 09:58 lleozhang 阅读(1732) 评论(0) 推荐(1) 编辑

loj 6485

摘要：单位根反演好题题意：求

\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} S^{i} a_{i m o d 4}

$\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}S^{i}a_{ i mod 4 }$ 看到

i

$i$

m o d

$mod$

4

$4$ 这种东西，很显然要分类讨论啦于是变成了这种形式：

\sum_{d = 0}^{3} a_{d} \sum_{i = 0}^{n} [

$\sum_{d=0}^{3}a_{d}\sum_{i=0}^{n}[$

i \equiv d

$i\equiv d$ $mod 阅读全文

posted @ 2019-06-20 17:43 lleozhang 阅读(300) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 3625

摘要：首先我们需要找出一个朴素的递推来解决这个问题：设状态

f (i)

$f(i)$ 表示权值和为

i

$i$ 的二叉树的数量，

g (i)

$g(i)$ 表示权值

i

$i$ 是否在集合中，即

g (i) = [i \in S]

$g(i)=[i\in S]$ 枚举根节点和左子树的权值，立刻得到一个递推： $f(n)=\sum_{i=0}^{n}g(i)\sum_{j=0}^{n-i} 阅读全文

posted @ 2019-06-19 15:24 lleozhang 阅读(160) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 4913

摘要：好毒瘤的一道题啊... 对每个

a_{i} \in S

$a_{i}\in S$ ,设

F (x)

$F(x)$ 为用

j

$j$ 个

a_{i}

$a_{i}$ 构造出

j a_{i}

$ja_{i}$ 的生成函数，那么

F (x) = \sum_{j = 1}^{\infty} x^{j a_{i}}

$F(x)=\sum_{j=1}^{∞}x^{ja_{i}}$ 根据这篇博客里的内容，可以求得：

F (x) = \frac{1}{1 - x^{a_{i}}}

$F(x)=\frac{1}{1-x^{a_{i}}}$ 设$t_{i 阅读全文

posted @ 2019-06-18 17:31 lleozhang 阅读(171) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 3456

摘要：有两种推导方法：第一种：设状态

f (i)

$f(i)$ 表示有

i

$i$ 个点的无向连通图个数，

g (i)

$g(i)$ 表示有

i

$i$ 个点的无向图个数，那么显然

f (n)

$f(n)$ 即为我们所求，而

g (i) = 2^{\frac{i (i - 1)}{2}}

$g(i)=2^{\frac{i(i-1)}{2}}$ 于是写出一个递推：枚举

1

$1$ 号点所在的连通块，可得：$g(n)=\sum_{i=1}^ 阅读全文

posted @ 2019-06-18 13:35 lleozhang 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 4555

摘要：题意：求

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{i} S (i, j) 2^{j} j!

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)2^{j}j!$ 一看就觉得不可做... 但是还是需要仔细分析的最重要的是一步转化：根据第二类斯特林数的定义：

S (n, m)

$S(n,m)$ 表示将

n

$n$ 个不同物品分到

m

$m$ 个集合中的方案数然后考虑求和式里面那个东西，发现其含义就是阅读全文

posted @ 2019-06-13 18:57 lleozhang 阅读(132) 评论(0) 推荐(0) 编辑

生成函数初探

摘要：生成函数在计算方案数以及计算递推公式时都有很大的作用，本文对生成函数的知识做一个初步的介绍（主要是博主自己不会）一.基本定义：给出序列{

a_{n}

$a_{n}$ }={

a_{0}, a_{1}, a_{2} . . . a_{n}

$a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n}$ },构造一个函数（或者多项式）$F(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2 阅读全文

posted @ 2019-06-11 20:49 lleozhang 阅读(480) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luogu 2000

摘要：一道生成函数例题如果对生成函数的知识不太了解，看这里下面认为你已经了解了生成函数的内容那么看见这种问题直接上生成函数嘛！直接构造...10个生成函数福利时间：这10个生成函数如下：

F (x) = 1 + x^{6} + x^{12} + . . . = \frac{1}{1 - x^{6}}

$F(x)=1+x^{6}+x^{12}+...=\frac{1}{1-x^{6}}$ $F(x)=1+x+ 阅读全文

posted @ 2019-06-11 20:47 lleozhang 阅读(218) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 1002

摘要：表示我这种蒟蒻面对这种递推第一思想显然是打表啊先贴个用来打表的暴力：实测这个打表程序是正确的（可以获得30分）接下来是本人心路历程：观察一下：1-1,2-5,3-16,4-45...找一下前后项吧！观察前后项的倍数关系应该在2~3之间，那先定一个基础表达式 f[i]=2f[i-1]+... 阅读全文

posted @ 2018-10-16 16:02 lleozhang 阅读(166) 评论(0) 推荐(0) 编辑

2018.10.14 noip模拟赛超级树

该文被密码保护。

posted @ 2018-10-15 19:13 lleozhang 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI 2012 随机数生成器

摘要：看到全是矩阵的题解，我来一发递推+分治其实这题一半和poj1845很像（或是1875？一个叫Sumdiv的题）言归正传，我们看看怎么由f(0)推出f(n) 我们发现，题目中给出了f(n)=af(n-1)+c（取模略过）那么顺着递推，可得：f(n-1)=af(n-2)+c 代入，得： f(n)= 阅读全文

posted @ 2018-09-17 20:25 lleozhang 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

leozhang

他言江湖如戏，一梦唏嘘，可说不可忆

随笔分类 - 其他数学问题—递推与生成函数

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