数论 - 随笔分类 - lleozhang

bzoj 3561

摘要：题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} l c m (i, j)^{g c d (i, j)}

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)^{gcd(i,j)}$ 神仙题... 首先可能会想到一个转化，就是

l c m (i, j) = \frac{i j}{g c d (i, j)}

$lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}$ 然后大力往下推式子，发现你推不下去了... 因为

d

$d$ 在分母上！！！然后我们考虑换一种阅读全文

posted @ 2019-07-08 14:37 lleozhang 阅读(191) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 4176

摘要：题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} d (i j)

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}d(ij)$ 首先推一发式子：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} d (i j)

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}d(ij)$ 有一个结论：

d (n m) = \sum_{i | n} \sum_{j | m} [g c d (i, j) \equiv 1]

$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)\equiv 1]$ 然后代入，得： $\su 阅读全文

posted @ 2019-07-08 11:54 lleozhang 阅读(274) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 4407

摘要：莫比乌斯反演还是推式子：设

f (n) = n^{k}

$f(n)=n^{k}$ 那就是上一道题了推的过程如下：

\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} f (g c d (i, j))

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}f(gcd(i,j))$ $\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{d=1}^{min(a,b)}[gcd(i,j)\equ 阅读全文

posted @ 2019-07-08 11:04 lleozhang 阅读(227) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 3309

摘要：奇怪的莫比乌斯反演... 题意：定义

f (n)

$f(n)$ 表示将

n

$n$ 质因数分解后质因子的最高幂次，求

\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} f (g c d (i, j))

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}f(gcd(i,j))$ 首先肯定是反演嘛... 推一发式子：

\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} f (g c d (i, j))

$\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}f(gcd(i,j))$ $ 阅读全文

posted @ 2019-07-08 10:22 lleozhang 阅读(232) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 4913

摘要：好毒瘤的一道题啊... 对每个

a_{i} \in S

$a_{i}\in S$ ,设

F (x)

$F(x)$ 为用

j

$j$ 个

a_{i}

$a_{i}$ 构造出

j a_{i}

$ja_{i}$ 的生成函数，那么

F (x) = \sum_{j = 1}^{\infty} x^{j a_{i}}

$F(x)=\sum_{j=1}^{∞}x^{ja_{i}}$ 根据这篇博客里的内容，可以求得：

F (x) = \frac{1}{1 - x^{a_{i}}}

$F(x)=\frac{1}{1-x^{a_{i}}}$ 设$t_{i 阅读全文

posted @ 2019-06-18 17:31 lleozhang 阅读(171) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSGS详析

摘要：BSGS是Baby-step-Giant-step的简写，是用来求解一类问题的算法模型：求解方程

A^{x} \equiv B

$A^{x}\equiv B$ mod

C

$C$ ，保证C为质数首先，我们分析一下暴力的方法：直接从0开始枚举x计算，直到求出答案为止时间复杂度？

O (C)

$O(C)$ 等等，为什么是

O (C)

$O(C)$ ? 根据费马小阅读全文

posted @ 2019-06-03 19:43 lleozhang 阅读(443) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 3884

摘要：直接利用降幂公式（或者有人叫扩展欧拉定理？），由降幂公式：那么我们可以对这个式子降幂：发现指数部分仍然是原表达式的形式，所以我们递归处理：记f(p)=2^2^2^2^2... mod p 于是根据上述分析可得： f(p)=2^(f(φ(p)+φ(p)) mod p 于是我们不断递归至φ(p)= 阅读全文

posted @ 2019-05-05 19:49 lleozhang 阅读(248) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 4816

摘要：这题是莫比乌斯反演的典型题也是很有趣的题。题意：求，其中f为为斐波那契数列那么首先观察一下指数，发现是我们熟悉的形式，可以转化成这样的形式：令T=kd，且假设n<m，有：令则原式= 这样的话我们的步骤就是这样的：线性筛出莫比乌斯函数，同时递推求出f 然后利用f和莫比乌斯函数求出g（枚举倍阅读全文

posted @ 2019-04-10 18:30 lleozhang 阅读(169) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 3529

摘要：非常好的一道莫比乌斯反演题，对提升自己的能力有很大帮助。首先我们分析一下题意：题意让我们求，其中那么我们首先对后面的式子进行一下变形，变形过程详见https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/89093689 于是最后变成了这个样子：但是这个式阅读全文

posted @ 2019-04-09 18:50 lleozhang 阅读(147) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 2301

摘要：一道莫比乌斯反演入门题。首先观察题目要求：的数对数首先可以发现，这个东西同时有上界和下界，所以并不是很容易计算那么我们变下形，可以看到：原式= 是不是清晰很多了？（当然没有！）不，这一步很重要的目的在于消去了下界，使得我们的计算更方便了。而且可以发现这四个式子的形式是一样的，所以我们对一个阅读全文

posted @ 2019-04-08 16:29 lleozhang 阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 3129

摘要：非常好的一道数学题，考察了大量数论和组合数学的知识在做本题之前强烈建议先完成下列两个背景知识： ①： bzoj 2142礼物因为本题的一部分数据需要利用到拓展卢卡斯定理，而礼物是拓展卢卡斯定理的裸题，先做礼物是一个比较好的选择有困难戳这里https://blog.csdn.net/lleozh 阅读全文

posted @ 2018-11-01 08:01 lleozhang 阅读(206) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 2190

摘要：题意：求题解：这题...数据范围是真小... 研究一下这一表达式，发现gcd(i,j)=1表示i，j互质，那么互质肯定能想到欧拉函数，可是欧拉函数要求j<i，那么我们变化一下：显然原矩阵是对称的，所以可以转化一下，变成（注意到后面-1是为了防止（1,1）被重复统计）那么发现答案就是公式挂掉的阅读全文

posted @ 2018-10-26 19:48 lleozhang 阅读(159) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 2186

摘要：非常有趣的题题意：求1~N！中有多少个与M！互质的数，T组询问，答案对R取模题解：首先，因为N>M，所以N！>M！，所以答案一定有一部分是φ（M！）接下来做一些分析：引理：若x与p互质，则x+kp与p互质（k∈Z）证明：反证法：假设x+kp与p不互质，则设gcd(x+kp,p）=d( 阅读全文

posted @ 2018-10-26 19:20 lleozhang 阅读(121) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 2005

摘要：基本就是推式子，见博客https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/83416791 阅读全文

posted @ 2018-10-26 16:25 lleozhang 阅读(157) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 2721

摘要：题解：首先推一发式子（见csdn https://blog.csdn.net/lleozhang/article/details/83415995）因为x是整数，所以x的数量显然为能使取得整数的t的个数，也就是求的约数个数而根据约数个数和公式(设一个数) 可以将前n个数质因子分解，然后将质因子的阅读全文

posted @ 2018-10-26 15:44 lleozhang 阅读(193) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 1951

摘要：这道题告诉了我们一个很重要的道理：看到题，先想明白再动手！题意：求对999911659取模的值首先，由于n的数据范围不是很大（至少不是很大），所以可以O（）枚举所有约数分别求组合数但是有个问题：根据费马小定理，所以组合数应当对p-1取模！可是p-1并不是一个质数啊所以我们要将p-1质因子阅读全文

posted @ 2018-10-26 14:41 lleozhang 阅读(142) 评论(0) 推荐(0) 编辑

noip 2018.10.14 模拟赛砍树

该文被密码保护。

posted @ 2018-10-15 20:47 lleozhang 阅读(4) 评论(0) 推荐(0) 编辑

noip 模拟赛 T3

该文被密码保护。

posted @ 2018-10-15 18:34 lleozhang 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑

裴蜀定理（贝祖定理）证明与应用

摘要：定理：对于给定的正整数a，b，方程有解的充要条件为c是gcd（a，b）的整数倍证明：充分性证明：设gcd（a，b）=d，于是设，其中k1，k2互质那么原等式等价于，即，其中k1，k2互质那么这个方程等价于模线性方程，由拓展gcd知，该方程一定有解那么该方程的一组解即为原方程的解必要性证阅读全文

posted @ 2018-10-04 08:32 lleozhang 阅读(2864) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj 5418

摘要：这是拓展crt的典型应用在你开始做之前，我一定要告诉你一件事情：虽然这道题看着和拓展crt模板很像，但他俩是有巨大的区别的！不要直接把板子改吧改吧扔上去！题目模型：求解模线性方程组其中p1,p2...pn不一定互质第一眼：拓展crt板子题！第二眼：等等...好像不太对第三眼：WTF！系数阅读全文

posted @ 2018-10-01 08:32 lleozhang 阅读(161) 评论(0) 推荐(0) 编辑

leozhang

他言江湖如戏，一梦唏嘘，可说不可忆

随笔分类 - 数论

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