多项式回归
多项式回归
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直线回归研究的是一个依变量与一个自变量之间的回归问题。
研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式的回归分析方法，称为多项式回归（Polynomial Regression）多项式回归模型是线性回归模型的一种。
多项式回归问题可以通过变量转换化为多元线性回归问题来解决。
一、多项式回归
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.uniform(-3, 3, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 + x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
plt.scatter(x, y)
plt.show()
如果直接使用线性回归，看一下效果：
from sklearn.linear_model import LinearRegression
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X, y)
y_predict = lin_reg.predict(X)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y_predict, color='r')
plt.show()
很显然，拟合效果并不好。那么解决呢？
解决方案：添加一个特征。
(X**2).shape
X2 = np.hstack([X, X**2])
X2.shape
lin_reg2 = LinearRegression()
lin_reg2.fit(X2, y)
y_predict2 = lin_reg2.predict(X2)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(np.sort(x), y_predict2[np.argsort(x)], color='r')
plt.show()
这样就比直线拟合要好很多。
lin_reg2.coef_
# array([0.90802935, 1.04112467])
lin_reg2.intercept_
# 2.3783560083768602
小结：多项式回归在算法并没有什么新的地方，完全是使用线性回归的思路，关键在于为数据添加新的特征，而这些新的特征是原有的特征的多项式组合，采用这样的方式就能解决非线性问题，这样的思路跟PCA这种降维思想刚好相反，而多项式回归则是升维，添加了新的特征之后，使得更好地拟合高维数据。
二、scikit-learn中的多项式回归
首先生成虚拟数据：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.uniform(-3, 3, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 + x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
# 多项式回归其实对数据进行预处理，给数据添加新的特征，所以调用的库在preprocessing中
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
# 这个degree表示我们使用多少次幂的多项式
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
poly.fit(X)
X2 = poly.transform(X)
X2.shape
输出结果：(100, 3) 第一列常数项，第二列一次项系数，第三列二次项系数，接下来查看一下前五列
# 取出前五列
X2[:5, :]
array([[ 1. , -1.45344304, 2.11249668],
[ 1. , -1.87779517, 3.5261147 ],
[ 1. , 2.30882492, 5.33067251],
[ 1. , 1.78648616, 3.19153281],
[ 1. , 2.9064929 , 8.447701 ]])
from sklearn.linear_model import LinearRegression
reg = LinearRegression()
reg.fit(X2, y)
y_predict = reg.predict(X2)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(np.sort(x), y_predict2[np.argsort(x)], color='r')
plt.show()
reg.coef_
# array([0. , 0.90802935, 1.04112467])
reg.intercept_
# 2.3783560083768616
三、关于PolynomialFeatures
在多项式回归中的关键在于如何构建新的特征，在sklearn中已经封装了，那具体如何实现的？
之前使用的都是1维数据，如果使用2维3维甚至更高维呢？
import numpy as np
x = np.arange(1, 11).reshape(5, 2)
x.shape
# (5, 2)
x
输出结果：
array([[ 1, 2],
[ 3, 4],
[ 5, 6],
[ 7, 8],
[ 9, 10]])
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
poly = PolynomialFeatures()
poly.fit(x)
x2 = poly.transform(x)
x2.shape
# (5, 6)
x2
array([[ 1., 1., 2., 1., 2., 4.],
[ 1., 3., 4., 9., 12., 16.],
[ 1., 5., 6., 25., 30., 36.],
[ 1., 7., 8., 49., 56., 64.],
[ 1., 9., 10., 81., 90., 100.]])
此时，可以看出当数据维度是2维是，经过多项式预处理生成了6维数据，第一列很显然是0次项系数，第二列和第三列也很好理解，分别是x1，x2，第四列和第六列分别是x1[2]和x2[2],还有一列，其实是x1*x2,这就是第5列，总共6列。由此可以猜想一下如果数据是3维的时候是什么情况？
poly = PolynomialFeatures(degree=3)
poly.fit(x)
x3 = poly.transform(x)
x3.shape
# (5, 10)
array([[ 1., 1., 2., 1., 2., 4., 1., 2., 4.,
8.],
[ 1., 3., 4., 9., 12., 16., 27., 36., 48.,
64.],
[ 1., 5., 6., 25., 30., 36., 125., 150., 180.,
216.],
[ 1., 7., 8., 49., 56., 64., 343., 392., 448.,
512.],
[ 1., 9., 10., 81., 90., 100., 729., 810., 900.,
1000.]])
那么这10列，分别对应着什么？通过PolynomiaFeatures，将所有的可能组合，升维的方式呈指数型增长。这也会带来一定的问题。 如何解决这种爆炸式的增长？如果不控制一下，试想x和x[^100]相比差异就太大了。这就是传说中的过拟合。
四、sklearn中的Pipeline
一般情况下，我们会对数据进行归一化，然后进行多项式升维，再接着进行线性回归。因为sklearn中并没有对多项式回归进行封装，不过可以使用Pipeline对这些操作进行整合。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.uniform(-3, 3, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 * x**2 + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
poly_reg = Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures(degree=2)),
('std_scale', StandardScaler()),
('lin_reg', LinearRegression())
])
poly_reg.fit(X, y)
y_predict = poly_reg.predict(X)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(np.sort(x), y_predict[np.argsort(x)], color='r')
plt.show()
五、过拟合和欠拟合
多项式回归的最大优点就是可以通过增加x的高次项对实测点进行逼近，直至满意为止。但是这也正是它最大的缺点，因为通常情况下试过过高的维度对数据进行拟合，在训练集上会有很好的表现，但是测试集可能就不那么理想了，这也正是解决过拟合的一种办法。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(666)
np.random.seed(666)
x = np.random.uniform(-3.0, 3.0, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 * x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
plt.scatter(x, y)
plt.show()
生成这种数据集之后，使用不同的拟合方式，并使用均方误差来对比几种拟合的效果。
- 线性拟合
from sklearn.linear_model import LinearRegression
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X, y)
lin_reg.score(X, y)
# 0.4953707811865009
y_predict = lin_reg.predict(X)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(np.sort(x), y_predict[np.argsort(x)], color='r')
plt.show()
from sklearn.metrics import mean_squared_error
y_predict = lin_reg.predict(X)
mean_squared_error(y, y_predict)
# 3.0750025765636577
显然，直接使用简单的一次线性回归，拟合的结果就是欠拟合(underfiting)
- 使用二次多项式回归
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
def PolynomialRegression(degree):
return Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
('std_scale', StandardScaler()),
('lin_reg', LinearRegression())
])
poly_reg = PolynomialRegression(degree=2)
poly_reg.fit(X, y)
Pipeline(memory=None,
steps=[('poly', PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=True, interaction_only=False)), ('std_scale', StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)), ('lin_reg', LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=None,
normalize=False))])
y_predict = poly_reg.predict(X)
mean_squared_error(y, y_predict)
# 1.0987392142417856
plt.scatter(x, y)
plt.plot(np.sort(x), y_predict[np.argsort(x)], color='r')
plt.show()
- 使用十次多项式回归
poly10_reg = PolynomialRegression(degree=10)
poly10_reg.fit(X, y)
y10_predict = poly10_reg.predict(X)
mean_squared_error(y, y10_predict)
# 1.0508466763764164
- 使用一百次多项式回归
poly100_reg = PolynomialRegression(degree=100)
poly100_reg.fit(X, y)
y100_predict = poly100_reg.predict(X)
mean_squared_error(y, y100_predict)
# 0.687293250556113
plt.scatter(x, y)
plt.plot(np.sort(x), y100_predict[np.argsort(x)], color='r')
plt.show()
x_plot = np.linspace(-3, 3, 100).reshape(100, 1)
y_plot = poly100_reg.predict(x_plot)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_plot[:,0], y_plot, color='r')
plt.show()
x_plot = np.linspace(-3, 3, 100).reshape(100, 1)
y_plot = poly100_reg.predict(x_plot)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_plot[:,0], y_plot, color='r')
plt.axis([-3, 3, -1, 10])
plt.show()
虽然它穿过了更多的点，但是我们会发现大于3的时候取值基本都在-25万，这显然是不合适的，而且当把坐标轴取值缩小以后也可以发现，震荡比较厉害，此时，这就叫过拟合(overfiting)。
六、解决过拟合问题
通常在机器学习的过程中，主要解决的都是过拟合问题，因为这牵涉到模型的泛化能力。所谓泛化能力，就是模型在验证训练集之外的数据时能够给出很好的解答。只是对训练集的数据拟合的有多好是没有意义的，我们需要的模型的泛化能力有多好。
为什么要训练数据集与测试数据集？
通常情况下我们会将数据集分为训练集和测试集，通过训练数据训练出来的模型如果能对测试集具有较好的表现，才有意义。
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(666)
np.random.seed(666)
x = np.random.uniform(-3.0, 3.0, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 * x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=666)
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(x_train, y_train)
y_predict = lin_reg.predict(x_test)
mean_squared_error(y_test, y_predict)
输出结果：2.2199965269396573
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
def PolynomialRegression(degree):
return Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
('std_scale', StandardScaler()),
('lin_reg', LinearRegression())
])
poly2_reg = PolynomialRegression(degree=2)
poly2_reg.fit(x_train, y_train)
y2_predict = poly2_reg.predict(x_test)
mean_squared_error(y_test, y2_predict)
输出结果： 0.8035641056297901
poly10_reg = PolynomialRegression(degree=10)
poly10_reg.fit(x_train, y_train)
y10_predict = poly10_reg.predict(x_test)
mean_squared_error(y_test, y10_predict)
输出结果：0.9212930722150781
通过上面的例子可以发现，当degree=2的时候在测试集上的均方误差和直线拟合相比好了很多，但是当degree=10的时候再测试集上的均方误差相对degree=2的时候效果差了很多，这就说名训练出来的模型已经过拟合了。
poly100_reg = PolynomialRegression(degree=100)
poly100_reg.fit(x_train, y_train)
y100_predict = poly100_reg.predict(x_test)
mean_squared_error(y_test, y100_predict)
输出结果：14440175276.314638
小结：对于模型复杂度与模型准确率中寻找泛化能力最好的地方。
欠拟合：underfitting，算法所训练的模型不能完整表述数据关系。
过拟合：overfitting，算法所训练的模型过多地表达数据间的噪音关系。
七、透过学习曲线看过拟合
学习曲线描述的就是，随着训练样本的逐渐增多，算法训练出的模型的表现能力。
首先我们用一个简单的例子看一下如何绘制学习曲线：
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
np.random.seed(666)
np.random.seed(666)
x = np.random.uniform(-3.0, 3.0, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 * x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=10)
x_train.shape
输出结果：(75, 1)
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
train_score = []
test_score = []
for i in range(1, 76):
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(x_train[:i], y_train[:i])
y_train_predict = lin_reg.predict(x_train[:i])
train_score.append(mean_squared_error(y_train[:i], y_train_predict))
y_test_predict = lin_reg.predict(x_test)
test_score.append(mean_squared_error(y_test, y_test_predict))
plt.plot([i for i in range(1, 76)], np.sqrt(train_score), label='train')
plt.plot([i for i in range(1, 76)], np.sqrt(test_score), label='test')
plt.legend()
plt.show()
下面绘制学习曲线的函数封装一下，方便后面调用。
def plot_learning_curve(algo, x_train, x_test, y_train, y_test):
train_score = []
test_score = []
for i in range(1, len(x_train)+1):
algo.fit(x_train[:i], y_train[:i])
y_train_predict = algo.predict(x_train[:i])
train_score.append(mean_squared_error(y_train[:i], y_train_predict))
y_test_predict = algo.predict(x_test)
test_score.append(mean_squared_error(y_test, y_test_predict))
plt.plot([i for i in range(1, len(x_train)+1)], np.sqrt(train_score), label='train')
plt.plot([i for i in range(1, len(x_train)+1)], np.sqrt(test_score), label='test')
plt.legend()
# plt.axis([0, len(x_train)+1, 0, 4])
plt.show()
plot_learning_curve(LinearRegression(), x_train, x_test, y_train, y_test)
接下来使用多项式回归绘制学习曲线：
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
def PolynomialRegression(degree):
return Pipeline([
('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
('std_scale', StandardScaler()),
('lin_reg', LinearRegression())
])
poly2_reg = PolynomialRegression(degree=2)
plot_learning_curve(poly2_reg, x_train, x_test, y_train, y_test)
poly2_reg = PolynomialRegression(degree=20)
plot_learning_curve(poly2_reg, x_train, x_test, y_train, y_test)
以上三幅图分别对应着欠拟合，最佳，过拟合。
我是尾巴
在机器学习过程中，经常会出现过拟合的情况，具体关于过拟合的解决办法有很多，接下来会继续学习。
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继续加油！
坚持到无能为力，拼搏到感动自己！
