【HDU 3400】Line belt（三分法）

题目链接

题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3400

题意

有两条传送带AB和CD，移动速度分别为p，q。
除了传送带的其他区域移动速度为r，问A到D最短时间。

题目分析

1. 在AB上找一点E，在CD上找一点F。
2. 使得A->E->F->D时间最短。

数学思路

时间 time = |AE|/p + |EF|/r + |FD|/q。 （|AE|为线段AE的长度。）

未知量有E的位置和F的位置，由于确定在AB和CD上，所以只需要两个未知量|AE|和|FD|。

一般采用拉格朗日乘数法，可以求出最值。

但是用这个方法解题貌似不太方便，所以有了下面的三分法。

解题思路

1. 对AB三分，mid1和mid2为分点。
2. 固定mid1对CD进行三分，固定mid2对CD进行三分。
3. mid1得到时间t1，mid2得到时间t2.
4. 不断三分直到两次求得时间之差abs(t1-t2)达到一定精度。

三分法

三分法是求某个区间内的极值点的算法。

二、三分法详解

代码如下（G++）

#include <bits\stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
double eps = 1e-6;


int p, q, r;
int ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy;

double min(double x, double y) {
    return x < y ? x : y;
}


double findCD(double ABx, double ABy) {
    double lx = cx;
    double ly = cy;
    double rx = dx;
    double ry = dy;
    double mid1x, mid1y, mid2x, mid2y;
    double time1 = 0, time2 = 0;
    do {
        mid1x = lx + (rx - lx) / 3;
        mid1y = ly + (ry - ly) / 3;
        mid2x = lx + 2 * (rx - lx) / 3;
        mid2y = ly + 2 * (ry - ly) / 3;
        time1 = sqrt((dx - mid1x) * (dx - mid1x) + (dy - mid1y) * (dy - mid1y)) / q +
                sqrt((ABx - mid1x) * (ABx - mid1x) + (ABy - mid1y) * (ABy - mid1y)) / r;
        time2 = sqrt((dx - mid2x) * (dx - mid2x) + (dy - mid2y) * (dy - mid2y)) / q +
                sqrt((ABx - mid2x) * (ABx - mid2x) + (ABy - mid2y) * (ABy - mid2y)) / r;

        if (time1 < time2) {
            rx = mid2x;
            ry = mid2y;
        } else {
            lx = mid1x;
            ly = mid1y;
        }
    } while (abs(time1 - time2) > eps);
    return time1;
}

//三分AB
double findAB() {
    double lx = ax;
    double ly = ay;
    double rx = bx;
    double ry = by;
    double mid1x, mid1y, mid2x, mid2y;
    double time1 = 0, time2 = 0;
    do {
        mid1x = lx + (rx - lx) / 3;
        mid1y = ly + (ry - ly) / 3;
        mid2x = lx + 2 * (rx - lx) / 3;
        mid2y = ly + 2 * (ry - ly) / 3;
        //三分CD
        time1 = sqrt((ax - mid1x) * (ax - mid1x) + (ay - mid1y) * (ay - mid1y)) / p + findCD(mid1x, mid1y);
        time2 = sqrt((ax - mid2x) * (ax - mid2x) + (ay - mid2y) * (ay - mid2y)) / p + findCD(mid2x, mid2y);
        if (time1 < time2) {
            rx = mid2x;
            ry = mid2y;
        } else {
            lx = mid1x;
            ly = mid1y;
        }
    } while (abs(time1 - time2) > eps);
    return time1;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> ax >> ay >> bx >> by >> cx >> cy >> dx >> dy;
        cin >> p >> q >> r;
        printf("%.2lf\n", findAB());
    }
    return 0;
}