LeetCode 287. Find the Duplicate Number (python 判断环,时间复杂度O(n))
LeetCode 287. Find the Duplicate Number
暴力解法
时间 O(nlog(n)),空间O(n),按题目中Note“只用O(1)的空间”,照理是过不了的,但是可能判题并没有卡空间复杂度,所以也能AC。
class Solution:
# 基本思路为,将第一次出现的数字
def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
s = set()
for i in nums:
a = i in s
if a == True:
return i
else:
s.add(i)
双指针判断环
时间O(n),空间O(1),思路十分巧妙,但是使用条件比较苛刻。根据题目给出的条件,恰好能用这种解法,这应该也是出题人推荐的解法。
题意分析:
- 输入的序列有n+1个数字,每个数字在1~n之间取,这为构成数字环创造了条件。
- 只有一个数字有重复,所以只可能构成一个环。
注:上面所说的环是指1->2->3->1
以样例1为例:[1,3,4,2,2]
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
1 | 3 | 4 | 2 | 2 |
如下图所示,其中2->4->2构成环,入环点为2 | ||||
![]() |
解题思路
由题意分析可知,每个样例都可以画成这样一张图,我们只需要找出图中的环,并找出入环点,即为所求的重复数字key,下面都用key表示所求的重复数字。
为什么必定存在环
以样例1为例,图中出现了5个点0-4,图中存在5根指针线,5个点5根线,必定存在环。
n个点,点的范围去0~n-1,n根线,必定存在环。(n-1根线是恰好无环的情况,自己画图可知)
找环的方法
设置一个慢指针slow,一个快指针fast。slow每次走一步,fast每次走两步,如果slow与fast能相遇,说明图中存在环,并且相遇点一定存在于环中。
为什么key一定为入环点?
有题意分析中的表可知,key的入度一定大于1,即不止一个点可以直接到key。而key一定存在于环中,所以key一定为入环点。样例1中3,4都可到达2,2的入度2,2为入环点,即为所求的key。
怎么找入环点key?
slow和fast相交的点记为相遇点P。
slow和fast从起点0到相遇点P运行步骤如下:
这个相遇点P与起点0到达入环点key的步数 差距为环L的整数倍,故设置slow2从起点0开始,每次走一步,slow从相遇点P开始,每次走一步,slow和slow2一定会相遇在入环点key。
我们可以有一个小小的证明,如下图
设起点0到达入环点key的步数为x,相遇点P到达入环点key的步数为y。
设slow指针走到相遇点P的步数为t,fast走到相遇点P的步数为2*t。
设走完环一圈的步数为L
2 * t - x + y = M * L(一)
t - x + y = N * L (二)
fast指针在环中走的步数2t-x,此时到达相遇点P,key->P->key步数为2t-x+y = M * L,正好为L的M倍,M为常数。(一)式
slow指针在环中走的步数t-x,此时到达相遇点P,key->P->key步数为t-x+y = N * L,正好为L的N倍,N为常数。(二)式
2倍(二)式 减 (一)式
y-x = (2N-M) * L
所以y与x的步数差距为L倍的环。
得证。
如何确定起点0一定会进入包含key的环?
假设存在不包含key的环,起点0在不包含key的环中绕圈。
0 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 |
---|---|---|---|---|---|---|
b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | b6 | b7 |
按题意不包含环,b[i]与b[j]一定不相等(i != j) | ||||||
由于b1~b7从1开始,所以b[i]只能从a[j]中取(1<=i<=7,1<=j<=6) | ||||||
从6个数字的集合a中取7个数字,所以假设不成立,必定存在相同数字b[k],即为key。 |
代码如下
class Solution:
def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
# 如果只有两个元素,第一个元素一定是重复元素
if len(nums) == 2:
return nums[0]
# fast每次走两步,slow每次走一步,起始点可以为任意位置
fast = 0
slow = 0
# python没有do while,所以在循环外写了一遍
slow = nums[slow]
fast = nums[nums[fast]]
while slow != fast:
slow = nums[slow]
fast = nums[nums[fast]]
# fast从起点每次走一步,一定会与slow相遇,此时slow可能在环中走了多倍的L步。
# L为环一圈的步数
fast = 0
while fast != slow:
slow = nums[slow]
fast = nums[fast]
return fast