线段树合并学习笔记

前言

模拟赛 solution 里说

只需要利用线段树合并的思想……

但是我不会线段树合并，就先学习了线段树合并。

引入

线段树合并是把每个对应节点合并。

两棵线段树都有某个节点，就是把这两个点合成一个点；

只有一棵线段树有某个节点，合并出来的线段树的这个节点就是这个唯一的节点。

两棵线段树都没有这个节点，合并完之后还是没有。

可以看得出来，如果是一般的线段树（是满二叉树）合并就是暴力，所以线段树合并一般是在动态开点线段树之间进行的。

动态开点线段树

当值域很大，操作数不多时，线段树有很多浪费的空间，这时候就需要动态开点线段树。

在这棵线段树上修改节点 $3$ 的值时，只需要用到三个节点（标红的节点）。

每一个节点记录下左儿子和右儿子，当需要某个节点却没有时，新建一个节点。

代码如下：

void ins(int &p,int l,int r,int x,int v){
    if(!p) p=++cnt;
    if(l==r){
        sum[p]+=v;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) ins(lc[p],l,mid,x,v);
    else ins(rc[p],mid+1,r,x,v);
    push_up(p);
}

查询的时候，需要注意不存在的节点不能计入答案。代码如下：

int ask(int p,int l,int r,int ql,int qr){
    if(!p) return 0;
    if(ql<=l&&r<=qr) return sum[p];
    int mid=(l+r)>>1,res=0;
    if(ql<=mid) res+=ask(lc[p],l,mid,ql,qr);
    if(qr>mid) res+=ask(rc[p],mid+1,r,ql,qr);
    return res;
}

线段树合并

主要有两种写法：

1. 把 $b$ 合并到 $a$ 上。
   这种写法会丢失合并前树的信息，所以只能离线下来。

   

   代码还是很好理解的：

   int merge(int a,int b,int l,int r){
       if(!a||!b) return a|b;
       if(l==r){
           sum[a]+=sum[b];
           return a;
       }
       int mid=(l+r)>>1;
       lc[a]=merge(lc[a],lc[b],l,mid);
       rc[a]=merge(rc[a],rc[b],mid+1,r);
       push_up(a);
       return a;
   }

2. 新建一个节点，把 $a$ 和 $b$ 合并信息存下来。
   
   代码更好理解：

   int merge(int a,int b,int l,int r){
       if(!a||!b) return a|b;
       int c=++cnt;
       if(l==r){
           sum[c]=sum[a]+sum[b];
           return;
       }
       int mid=(l+r)>>1;
       lc[c]=merge(lc[a],lc[b],l,mid);
       rc[c]=merge(rc[a],rc[b],mid+1,r);
       push_up(c);
       return c;
   }

时间复杂度证明：

合并两颗树的时间复杂度是重合部分的大小，也就小于等于较小的那棵树的点数，总共的时间复杂度不会超过总点数，就是 $O(n\log V)$。

例题

P4556 [Vani有约会] 雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

每个节点开一个动态开点值域线段树。

离线，把修改操作在树上差分，最后一遍 dfs 从下向上用线段树合并，到一个点，把它的所有儿子的信息进行合并。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define debug(x) cerr<<#x<<':'<<x<<endl
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=1e5+5,V=1e5;
int n,m;
 
int root[N];
int mx[N*80],pos[N*80];
int lc[N*80],rc[N*80];
int cnt;
void push_up(int p){
    if(mx[lc[p]]>=mx[rc[p]]) mx[p]=mx[lc[p]],pos[p]=pos[lc[p]];
    else mx[p]=mx[rc[p]],pos[p]=pos[rc[p]];
}
void ins(int &p,int l,int r,int x,int v){
    if(!p) p=++cnt;
    if(l==r){
        mx[p]+=v,pos[p]=l;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) ins(lc[p],l,mid,x,v);
    else ins(rc[p],mid+1,r,x,v);
    push_up(p);
}
int merge(int a,int b,int l,int r){
    if(!a||!b) return a|b;
    if(l==r){
        mx[a]+=mx[b],pos[a]=l;
        return a;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    lc[a]=merge(lc[a],lc[b],l,mid);
    rc[a]=merge(rc[a],rc[b],mid+1,r);
    push_up(a);
    return a;
}
vector<int> G[N];
int fa[N],dep[N],siz[N],son[N];
int top[N],dfn[N],idx;
void dfs1(int x,int faa){
    fa[x]=faa,dep[x]=dep[faa]+1,siz[x]=1;
    for(int y:G[x]){
        if(y==faa) continue;
        dfs1(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int x,int hd){
    dfn[x]=++idx,top[x]=hd;
    if(son[x]) dfs2(son[x],hd);
    for(int y:G[x]){
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}
int lca(int x,int y){
    while(top[x]^top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dfn[x]>dfn[y]) swap(x,y);
    return x;
}
int ans[N];
void dfs(int x){
    for(int y:G[x]){
        if(y==fa[x]) continue;
        dfs(y);
        root[x]=merge(root[x],root[y],1,V);
    }
    if(mx[root[x]]) ans[x]=pos[root[x]];
}
signed main(){
    IOS;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1,u,v;i<n;i++){
        cin>>u>>v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1,0),dfs2(1,1);
    for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
        cin>>x>>y>>z;
        int lc=lca(x,y);
        ins(root[x],1,V,z,1);
        ins(root[y],1,V,z,1);
        ins(root[lc],1,V,z,-1);
        if(fa[lc]) ins(root[fa[lc]],1,V,z,-1);
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<endl;
    return 0;
}