欧拉函数学习笔记

前言

本人能力有限，有错误欢迎指出。

定义

$\phi (n)$ 表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

公式

设 $n=\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}$，有

$$\begin{array}{rl}\phi (n)& =\prod _{i=1}^s\phi (p_i^{k_i})\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}-p_i^{k_i-1}\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}(1-p_i^{-1})\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}(1-\frac{1}{p_i})\\ & =\prod _{i=1}^s{p}_i^{k_i}\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\\ & =n\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i})\end{array}$$

性质

1. 欧拉函数是积性函数。具体地：

• 当 $gcd(n,m)=1$ 时，$\phi (n\times m)=\phi (n)\times \phi (m)$。
• 否则，$\phi (n\times m)=\phi (n)\times m$。

2. $n=\sum _{d|n}\phi (d)$，即 $n$ 的因数（包括 $1$ 和 $n$）的欧拉函数之和等于 $n$。

代码

• 求单个 $\phi (n)$。

long long eular(long long n) {
    long long ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++) {
        if(n%i==0) {
            ans−=ans/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans−=ans/n;
    return ans;
}

• 求多个 $\phi (n)$，利用欧拉筛和性质 $1$。

void init(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!is[i]){
			pri[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++){
            is[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
            else{
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
			}
        }
    }
}

习题

P2568 GCD

P2158 [SDOI2008] 仪仗队