网络流重制版：最大流最小割定理的讲解，以及增广路求最大流的证明

前言
术语介绍
割
最大流最小割定理证明
参考资料

前言

初一的证明简直就是SB，错漏百出。。。

术语介绍

前向弧：\(E\)中的边。
可行流：上文介绍的是最大流，可行流即为满足\(f,c\)约束的一个流，最大流是没有增广路径的可行流，对于一个流\(f\)，\(|f|\)就是其流量。

割

割是啥子东西？

割是针对只有前向弧的有向图的，需要注意的。

一个割就是把点集\(V\)分成\(S,T\)集，我们记为\((S,T)\)，其中\(st∈S,ed∈T\)。

而一个割的容量是\(\sum\limits_{u∈S,v∈T,(u,v)∈E}c(u,v)\)，流量是\(\sum\limits_{u∈S,v∈T,(u,v)∈E}f(u,v)-\sum\limits_{v∈S,u∈T,(u,v)∈E}f(u,v)\)
定理1：一个割的流量绝对≤割的容量。
定理2：对于任意一个可行流\(f\)，割的流量等于\(|f|\)。
证明：
这个时候，割等于\(S\)到\(T\)的所有出边和\(T\)到\(S\)的所有入边。
推导：
对于一个点\(u∈V-\left \{ st,ed \right \}\)，满足下面这条
\(\sum\limits_{u∈V}f(u,v)-\sum\limits_{u∈V}f(v,u)=0\)。
我们把\(|f|\)表示出来：
\(|f|=\sum\limits_{v∈V}f(st,v)+\sum\limits_{u∈S-\left \{ st \right \}}\sum\limits_{v∈V}f(u,v)-\sum\limits_{u∈V}\sum\limits_{v∈S-\left \{ st \right \}}f(u,v)=\sum\limits_{u∈S}\sum\limits_{v∈V}f(u,v)-\sum\limits_{u∈V}\sum\limits_{v∈S}f(u,v)\)

\(V=S∪T,S∩T=0\)

所以

\(|f|=\sum\limits_{u∈S}\sum\limits_{v∈T}f(u,v)+\sum\limits_{u∈S}\sum\limits_{v∈S}f(u,v)-\sum\limits_{u∈T}\sum\limits_{v∈S}f(u,v)-\sum\limits_{u∈S}\sum\limits_{v∈S}f(u,v)=\sum\limits_{u∈S}\sum\limits_{v∈T}f(u,v)-\sum\limits_{u∈T}\sum\limits_{v∈S}f(u,v)\)。

证毕。

定理三：\(|f|=f(S,T)≤c(S,T)\)

因此，最大流≤最小割的容量。

最大流最小割定理证明

终于到这个地方了。。。

设\(f\)为流网络\(G=(V,E)\)中的一个流，那么下面的条件是等价的：

\(f\)是\(G\)的一个最大流。
残余网络\(G_{f}\)不包括任何增广路径。
\(|f|=c(S,T)\)，\(c(S,T)\)是某个切割，很明显这个切割是最小割。

\((1)->(2)\)，存在增广路怎么可能是最大流。
\((2)->(3)\)，假设\(G_{f}\)中不存在增广路径，那么我们定义\(u\)能走到\(v\)，仅当\((u,v)∈E,f(u,v)<c(u,v)\)或者\((v,u)∈E,f(v,u)>0\)，很明显，\(st\)到\(ed\)的每条路径都不是增广路，所以路径上一定有\((u,v)∈E,f(u,v)=c(u,v)\)或者\((v,u)∈E,f(v,u)=0\)，这个时候定义\(st\)能走到的点集为\(S\)，\(ed\)能走到的点集为\(T\)即可。