IncDec序列

题目

题目

题解

首先，我们确定几个性质：

1. 答案要正确，必须要保证操作次数最小（这不是废话吗(╯‵□′)╯︵┻━┻）。
2. 对于同一个区间而言，只能存在\(+\)或\(-\)的操作，否则是浪费。
3. 对于一个\(+\)操作而言，不能有和它相接的\(+\)操作，\(-\)操作也是，否则可以合并并造成更小的次数，如：\(1-3\)和\(3-5\)合并成\(1-5\)
4. 如果存在\(k\)个加/减号操作：\(+[i_1,j_1],+[i_2,j_2],...,+[i_k,j_k]\)且满足\(i_1=1,j_k=n,i_t<=j_{t+1}\)，那么这个可以变成：\(+[1,n],+[j_1,i_2]...,+[j_{k-1},i_{k}]\)，然后\(+[1,n]\)去掉，次数减一，因此不存在这种情况，当然，通过这个可以推广出如果有\(k\)个加号操作：\(+[i_1,j_1],+[i_2,j_2],...,+[i_k,j_k]\)且满足\(i_t<=j_{t+1}\)那么就可以变成：\(+[i_1,j_k],+[j_1,i_2]...,+[j_{k-1},i_{k}]\)，如果这时恰好有一个\(-[i_1,j_k]\)就可以刚好抵消了，次数\(-1\)，因此这个如果不成立。
5. 不可能有\(+[1,n]\)这种\(SB\)的操作。
6. 在遵循上述操作的情况下，对于\(+[i,j]\)操作而言，我们可以分成两个操作：\(-[1,i-1]\)和\(-[j+1,n]\)，我们称之为反操作，为什么对？因为这个区间\(+1\)不就意味着其它区间\(-1\)吗？当然，如果\(i≠1,j≠n\)，那么就会产生多一次操作次数（因为\(i=1\)或\(j=n\)话，左边或者右边是没有数字的，所以只是对除了\([i,j]\)以外的另外一个区间作反操作罢了，次数不会增加），当然你如果头贴硬生生去消除其中一个操作倒是可以，但是前提是得有一个\([?,n]\)或者\([1,?]\)的操作才可以消掉。
   也许你不是很理解，我们举个栗子：
   对于操作\(+[2,3]\)，\(n=6\)，那么反操作就是\(-[1,1],-[4,6]\)，就会增加两个操作，而且如果存在\(+[4,?]\)和\(-[4,6]\)相互抵消的话，那么\(+[2,3]\)和\(+[4,?]\)是可以合并的，那你又会问那如果是\(+[3,6]\)和它抵消呢？没错，这样就可以消掉了，但是就会产生一个\(+[3,4]\)的操作，所以消掉了其中一个反操作的影响，但是别想利用这个消掉原本的操作来减少次数。但是不是有\(+[4,6]\)就可以消掉了吗，但是\([4,6]\)和[2,3]可以合并。因此可以说明存在一个\([?,6]\)才可以消除影响（当然，对于\(?>4\)的时候，就是\(-[4,6]\)把\(+[?,6]\)吞并变成\(+[4,?]\)）。
   但是同时又不可能同时把两个同时消掉影响，不然以性质4，我们在原来的区间操作就可以让次数\(-1\)了（这也是为什么\(i=1\)或\(j=n\)的反操作无法消掉的原因）。
   当然通过这个，我们就可以得到，每一个\([1,?]\)或者\([?,n]\)就可以让数字\(+1\)或者\(-1\)（自己取反操作肯定可以），当然，这个是对应的，消耗掉一个\([1,?]\)就可以产生一个反符号的\([?,n]\)。
7. 操作序列顺序不影响结果。
8. 如果两种操作序列的结果一样（不要求次数相同），这两种一定可以通过非反操作的操作互相转化。（这个我是真的不会证，只能说是它本来就是\(+-\)具有的性质吧。）
9. 以\(j\)为结尾操作都是同号的，异号可以合并。
10. [1,?]和[?,n]数量的差是固定的，对于固定的\([?,n]\)而言，在满足性质1的情况下，操作序列的结果不会有任何改变，不管操作序列怎么变（因为中间的操作要取反操作必须有[1,?]和[?,n]的转化），而且\([1,?]\)和\([?,n]\)的操作符号绝对是反的，正的可以合并成一个操作，如：\(+[1,3],+[5,n]\)可以合并成\(-[4,4]\)一样，就不是最少操作次数了。

这些性质我们先不管它，先看第一问，最少操作次数？我们要搞清楚一件事情，区间加减其实就是差分数组的单点修改，那我们只需要把数组差分一下，然后对于成对\(1\)和\(-1\)匹配一下，那么对于单独的\(1\)或者是\(-1\)，我们应该如何处理呢？仔细观察，我们发现\([i,n]\)的操作，只会产生一个\(1\)或者一个\(-1\)，与之成对的\(-1/1\)是在\(n+1\)的位置的，我们就不管它了，所以对于剩下的\(1\)或者\(-1\)，我们就认为它是做了\([i,n]\)的加减。

这样为什么是最优秀最少的呢？因为一次加或者减最多只能消除掉一对\(1,-1\)，剩下的\(1/-1\)不就是需要一个一个操作慢慢消了吗？所以这种方式构造出来的就是最优解，而且这样子的构造还方便了我们一个事情，就是我们得到了有多少个\([?,n]\)，根据性质\(9\)，以\(n\)结尾的操作都是同号的，而且这样构造不会出现\([1,?]\)的情况（因为差分是以第一个数字为标准），现在以\(+[?,n]\)为例，如果以\(n\)结尾的操作都是\(+\)操作，那么我们可以去掉一个\(+\)号操作然后产生一个\(-[1,?]\)同时让结果\(-1\)，所以有多少个加号，就多了多少种结果（负号同理），所以答案就是\(abs(差分[n])+1\)就是在最小操作次数下面有多少种答案啦。

总是是讲完了，虽然我感觉讲得很乱，但至少把思路讲了。
大概就是证明了一个\([?,n]\)的操作就可以让结果变\(1\)且操作次数不变的性质是对的。

代码

时间复杂度：\(O(n)\)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define  N  110000
using  namespace  std;
typedef  long  long  LL;
LL  a[N],b[N],n;
inline  LL  mymax(LL  x,LL  y){return  x>y?x:y;}
inline  LL  zabs(LL  x){return  x<0?-x:x;}
int  main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	for(int  i=1;i<n;i++)b[i]=a[i+1]-a[i];
	LL  q=0,p=0;
	for(int  i=1;i<n;i++)
	{
		if(b[i]>0)q+=b[i];
		else  p+=-b[i];
	}
	printf("%lld\n",mymax(q,p));
	printf("%lld\n",zabs(q-p)+1);
	return  0;
}