各种友(e)善(xin)数论总集，从入门到绝望3---线性筛与其最重要的作用
感觉原来那篇文章已经卡的不行了，赶紧搬出来QAQ。
例题
题目描述
【题意】
素数表如下：
2、3、5、7、11、13、17…………
有n次询问，每次问第几个素数是谁？
【输入格式】
第一行n(1<=n<=10000)
下来n行，每行一个整数pi，表示求第pi个素数。1<=pi<=100 0000
【输出格式】
每次询问输出对应的素数。
【样例输入】
3
1
4
7
【样例输出】
2
7
17
线性筛素数有两种，埃式筛和欧拉筛。
埃式筛
我们可以知道，一个数字如果不是质数，那么它的最小质因子一定小于等于这个数字的开平方。
很容易想到，不详细解释。
那么求\(1\)到\(b\)的素数的话，我们可以知道，\(1\)到\(b\)的合数的最小质因数也是一定小于等于\(\sqrt b\)的，那么我们只需要求出\(\sqrt b\)内的所有素数并且暴力for一遍，空间小，复杂度为\(O(nloglogn)\)
for(int i=2;i<=sqrt(b);i++)
{
if(mp[i]==false)//为素数
{
for(int j=i;j<=b;j+=i)mp[j]=true;
}
}
给出一种神奇卡常版：
for(register int i=3;i<=sqrt(m);i+=2)
{
if(a[i/2]==true)
{
for(register int j=i*3;j<=m;j+=i*2)a[j/2]=false;
}
}
但是，还是可以优化的，每次跳的时候从\(i^2\)开始跳，因为前面的有更小的素数去更新。
for(int i=2;i<=sqrt(b);i++)
{
if(mp[i]==false)//为素数
{
for(int j=i*i;j<=b;j+=i)mp[j]=true;
}
}
这个的神奇卡常版就不加了QAQ。
复杂度正确，貌似是用调和级数来证，我不会QAQ。
欧拉筛
后面题目主要用欧拉筛，复杂度\(O(n)\)
这个就很神奇了，先给出代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 21000000
using namespace std;
int ins[2100000];//素数表
bool mp[N];
int main()
{
for(int i=2;i<=20000000;i++)
{
if(!mp[i])ins[++ins[0]]=i;//存入素数表
for(int j=1;j<=ins[0] && ins[j]*i<=20000000;j++)
{
mp[ins[j]*i]=true;
if(i%ins[j]==0)break;
}
}
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;scanf("%d",&x);
printf("%d\n",ins[x]);
}
return 0;
}
许多人疑问这一句
if(i%ins[j]==0)break;
如果\(ins_{j}|i\)，那么就可以break了，Why？那么我们设\(i\)为\(d*ins_{j}\)，设\(k>j\)，\(i*ins_{k}=d*ins_{j}*ins_{k}=(d*ins_{k})*ins_{j}\)，我们可以知道\(d*ins_{k}>d*ins_{j}\)，那么在以后的循环，\(i*ins_{k}\)会被重复标记，那么此时就可以break了，一句话就这么精妙。
超级卡常版：
for(register int i=3;i<=m;i+=2)
{
if(a[i/2]==true)b[++k]=i;
for(register int j=1;j<=k && b[j]*i<=m;++j)
{
a[b[j]*i/2]=false;
if(i%b[j]==0)break;
}
}
当然，慎用卡常版。
其实我是乱搞的
复杂度证明及其性质
对于合数\(x\)，设其最小的约数\(y\)，那么他有没有可能被大于\(y\)的约数所\(z\)找到呢？
那么就是\(\frac{x}{z}*z\)，但是\(y|\frac{x}{z}\)，所以在找到\(x\)的时候就会退出，所以每个数字只会被其最小约数找到，所以就是\(O(n)\)
另外提一下，因为其只能被最小约数筛，所以经常被用来筛积性函数。
还有一个性质也经常被用到：如果\(i\)被某个质数\(x\)整除（就是进入了\(if\)），那么\(i*x\)的某个质数因子的指数一定大于\(1\)。
欧拉筛筛积性函数
关于积性函数的定义可以去看“各种友(e)善(xin)数论总集，从入门到绝望4（狄利克雷卷积与莫比乌斯反演）”
对于一般的积型函数：\(f(i)f(j)=f(ij)\)当\(gcd(i,j)=1\)。
我们可以对于每个数字\(i\)都存一个\(low\)值，表示的是最小的约数次幂，即对于一个数字拆成：\(p_{1}^{a_{1}}...p_i^{a_i}(p_1<p_2<p_3<...)\)（\(p\)都是质数），那么\(low\)存的就是\(p_1^{a_1}\)。
而当我们在找到一个质数的时候，就处理其次幂的函数值（这也是积性函数中最需要推的东西）。
所以一个数字\(x\)就可以被拆成\(\frac{x}{low_x}\)和\(low_x\)了。
而对于完全积性函数，不用存\(low\)值，而对于某些具有一定性质的完全积性函数，我们也可以采用某些神奇的仿写省掉\(low\)，常见的做法就是对于\(i\)被某个质数整除和没有被整除的情况分别讨论，如：\(phi(φ)\)函数。
具体操作请参照欧拉函数。
